高等数学课程2 3高阶导数

第三节 高阶导数一、高阶导数的定义二、高阶导数的求法1/12一、高阶导数的定义定义

称

y=f(x)

的导函数

f¢(x)

在

x0

的导数称为

y=f(x)在x0

的二阶导数，可记作y

¢x

=x

,0x

=x0(2)

(2)d

2

y

d

2

f

(

x)f

¢(

x0

),或

f

(

x0

),

yx

=x0

，

dx2

x

=x0

.dx2(2)

(2)d

2

y

d

2

f

(

x)dx2dx2f

¢(

x),

y

¢,

或

f(

x),

y

，

.称

y

=

f(x)

的导函数的导函数

(

f¢(x))¢为

y

=f(x)的二阶导函数:

可记作2/12一般地,函数f

(x)的n

-1阶导数的导数称为函数f

(x)的n阶导数,记作y(

n

)

,f

(

n

)

(

x),dxn

dxnd

n

y

d

n

f

(

x)或

.三阶导数的导数称为四阶导数,

f二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地,

f

(

x)称为零阶导数;

f

(

x)称为一阶导数.d

3

y

d

3

f

(

x)f

¢(

x),

y

¢,

，dx3

dx3.二阶导数的导数称为三阶导数,(4)

(

4)d

4

y

d

4

f

(

x)(

x),

y

,

,dx4

dx4.注

若

f(x)在

x0

点n

阶可导，则必在某个U(x0)

上

n-1阶可导。3/12例1求y(n).(a

˛

R,

a

„

0),设

y

=

xa解

若a不是自然数y

=

ax

a-1=

(ax

a

-1

)

=

a(a

-

1)

x

a-2yy

=

(a(a

-

1)

x

a

-2

)=

a(a

-

1)(a

-

2)

x

a

-3y(

n)

=

a(a

-

1)(a

-

n

+

1)

x

a

-n

(n

‡

1)若

a

为自然数

n,

则y(

k

)

=

(

xn

)(

k

)

=

n(n

-

1)(n

-

k

+

1)

xn

-k

, 0

<

k

<

n;=

n!;y(

k

)

=

0，

k

>

n.注:求n阶导数时，求出若干阶后不要急于合并，分析结果的规律性，写出n阶导数(数学归纳法证明).y(

n)

=

(

xn

)(

n)6/12例2

设

f

¢(

x

)

存在，求

y

=

f

(

x

2

)

的二阶导数。解y¢=

(

f

(

x2

))¢

=

f

¢(

x

2

)2

xy

=

(

y

)

=(2

xf

¢(

x2

))¢=2 (

f

¢(

x2

)

+

x

(f

¢(

x2

))¢)=

2 (

f

¢(

x2

)

+

x f

¢(

x2

)

2

x)f

¢(

x2

).2=

2

f

¢(

x2

)

+

4

x5/12例3设y

=sin

x,求y(n).解2y

=

cos

x

=

sin(

x

+

p)2

2

22y¢=

cos(

x

+

p)

=

sin(

x

+

p

+

p)

=

sin(

x

+

2

p)2

2y¢

=

cos(

x

+

2

p)

=

sin(

x

+

3

p)2y(

n)

=

sin(

x

+

n

p)2(cos

x)(

n)

=

cos(

x

+

n

p)同理可得7/12例4设y

=sin

2

x,求y(n).2解

y

=

2cos

2

x

=

2sin(2

x

+

p

)2

2

22y¢=

2

2cos(2

x

+

p

)

=

22

sin(2

x

+

p

+

p

)

=

22

sin(2

x

+

2

p

)2

2y¢

=

22

2cos(2

x

+

2

p

)

=

23

sin(2

x

+

3

p

)2y(

n)

=

2n

sin(2

x

+

n

p

)2(cos

kx)(

n)

=

kn

cos(kx

+

n

p

)同理可得高阶导数的运算法则:设函数u和v具有n阶导数,则(u

–

v)(

n)

=

u(

n)

–

v

(

n)(Cu)(

n)

=

Cu(

n)(

k

)2!(3)

(u

v)(

n)

=

u(

n)v

+

nu(

n-1)v¢+

n(n

-1)

u(

n-2)v

¢++

n(n

-

1)(n

-

k

+

1)

u(

n-k

)v(

k

)

++

uv(

n)k

!nk

=0nC

uvk

(

n-k

)=——莱布尼兹公式9/122!nnk

!C

uvk

n-k

k=k

=0(u

+

v)n

=

unv0

+

nun-1v1

+

n(n

-

1)

un-2v2

++

n(n

-

1)(n

-

k

+

1)

un-kvk

+

+

u0vn(u

v)(

n)

=

u(

n)v

+

nu(

n-1)v¢+

n(n

-

1)

u(

n-2)v

¢+2!+

n(n

-

1)(n

-

k

+

1)

u(

n-k

)v(

k

)

+

+

uv(

n)k

!(

k

)nk

=0nC

uvk

(

n-k

)=牛顿二项式展开莱布尼兹公式例6设y

=x

2

e

2

x

,求y

(20).解（设u

=e2

x，v

=x

2，则）由莱布尼兹公式知(

x

2

)202020(

x

2

)′+

0y(20)

=

C

0

(e

2

x

)(20)

x

2

+

C

1

(e

2

x

)(19)+

C

2

(e

2

x)(18)2218

e2

x2!20

192!x2

+

20

219

e2

x

2

x

+=

220

e2

x=

220

e2

x

(

x2

+

20

x

+

95)(

x

2

)¢+

0+

20(20

-

1)

(e

2

x

)(18

)(

x

2

)¢=

(e

2

x

)(

20

)

x

2

+

20(e

2

x

)(19

)10/122.间接法:利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.常用高阶导数公式2(2)

(sin

kx)(

n)

=

k

n

sin(kx

+

n

p)2(4)

(

x

a

)(

n)

=

a(a

-

1)(a

-

n

+

1)

x

a-n(3)

(cos

kx)(

n)

=

k

n

cos(kx

+

n

p)(1)

(a

x

)(

n)

=

a

x

ln

n

a

(a

>

0)(e

x

)(

n)

=

e

x(e

kx

)(

n)

=

k

ne

kx例6

设

y

=

sin6

x

+

cos6

x,

求y(

n

)

.解

y

=

(sin2

x)3

+

(cos2

x)3=

(sin2

x

+

cos2

x)(sin4

x

-

sin2

x

cos2=

(sin2

x

+

cos2

x)2

-

3

sin2

x

cos2

x=

1

-

3

sin2

2

x=

1

-

3 1

-

cos

4

xx

+

cos4

x)4

245

38

8+

cos

4

x=2cos(4

x

+

n

p).8\

y(

n)

=

3

4n习题已知

f

(x)

任意阶可导,

且

f

¢(x)

=[

f

(x)]2

,

则当n

‡2

时f

(n)(x)=n

![f

(x)]n+1提示:f

(x)

=

2

f

(x)

f

(x)

=

2![

f

(x)]3(x)

=2!

3[

f

(x)]2

f

¢(x)

=

3

!

[

f

(x)]4f例8.

试从导出d

y

dy

d

dx

=d

y2

=解：d2

x

d

x

y¢d

1

dydxy¢13同样可求d

xd

y3(见P103

题4)第四节y

=

xn

+

exy(

n+1)

=设，则ex作业y

=

cos

x

2设，则dxdydy

=

-2x

sin

x2=

-sin

x2d

(x

2

)d

2

ydx2=

-2sin

x22-

2x

cos

x

2x可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。证明若f

(x)=f

(-x)f

¢(

x)

=

-

f

¢(-x)则若g(x)=-g(-x)g¢(

x)

=

-g¢(-x)(-1)

=

g¢(-x)则证毕。ln(1

+

x),ax2

+

bx

+

c,

x<

0x‡

0f

(x)

=

在点x=0处