高三数学函数的综合应用

高三数学函数的综合应用第1页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用一、考试内容1.映射、函数、函数的单调性、奇偶性．

2.反函数．互为反函数的函数图像间的关系．

3.指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数

4.对数．对数的运算性质．对数函数．

5.函数的应用．第2页，课件共30页，创作于2023年2月二、考试要求1.了解映射的概念，理解函数的概念．

2.了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．

5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质．

6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．§1.3函数的综合应用第3页，课件共30页，创作于2023年2月三、怎样学好函数

学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.(一)准确、深刻理解函数的有关概念

概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.§1.3函数的综合应用第4页，课件共30页，创作于2023年2月三、怎样学好函数

(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.

所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.§1.3函数的综合应用第5页，课件共30页，创作于2023年2月三、怎样学好函数

(三)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.§1.3函数的综合应用第6页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用例1.设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有

f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4.(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)在区间［-9，9］上，求f(x)的最值.(1)证明：令x=y=0,得f(0)=0

令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),

即f(-x)=-f(x)

∴f(x)是奇函数第7页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用(2)解:任取实数x1、x2∈［-9,9］且x1＜x2,

这时，x2-x1>0,f(x1)-f(x2)=f［(x1-x2)+x2］-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=-f(x2-x1)

因为x>0时f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0∴f(x)在［-9，9］上是减函数故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9).

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12.∴f(x)在区间［-9，9］上的最大值为12，最小值为-12.例1.设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有

f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4.(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)在区间［-9，9］上，求f(x)的最值.第8页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线

x=1对称，对任意x1、x2∈［0,］,都有

f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；

(3)记an=f(2n+),求第9页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用(1)解：因为对x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)第10页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，

故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.

又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R

∴f(-x)=f(2-x),x∈R.

将上式中-x以x代换得f(x)=f(x+2)，

这表明f(x)是R上的周期函数，

且2是它的一个周期.第11页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］又∵f(x)的一个周期是2第12页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用命题意图：本题主要考查函数概念，图象,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口.错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形.技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为:是解决问题的关键.第13页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用●锦囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.第14页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用第15页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用解:由y=xsinx知，它是一个偶函数，由f(x1)>f(x2)知|x1|>|x2|,故选D第16页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用例5．已知(b、c为常数),(Ⅰ)若在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；(Ⅱ)若在上单调递增且在上单调递减,又满足，求证：(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，若，试比较:

与x1的大小，并加以证明．第17页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用解：(Ⅰ)由题意得:1和3是方程的两根，解得第18页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用(Ⅱ)由题得:当时，时,是方程的两根，则第19页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,由上一问知:即所以第20页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用例6.已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点.若点B的坐标为(2,0)，且f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性，在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.（1）求c的值；（2）在f(x)函数的图象上是否存在一点M(x0,y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求的取值范围.第21页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用解析:(1)因为在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性，即有一个解则c=0所以x=0是的f(x)一个极值点，故(2)因为f(x)交x轴于点B(2,0)，令得所以8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a)第22页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用因为f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性，.所以假设存在点，使得在点M的切线斜率为3b，则即:而故不存在点，使得在点M的切线斜率为3b.第23页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用（3）设，依题意可令:则即第24页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用当时，当时，故第25页，课件共30页，创作于2023年2月§1.3函数的综合应用点评：

在知识的交汇点上命题，着重考查学生的创新能力是高考改革的重要方向.本题以高中数学新增内容导数为切入点，涉及了函数、