江苏省南京市上元中学2022年高三数学理下学期摸底试题含解析

江苏省南京市上元中学2022年高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.观察下列各式：则（

）

A．28

B．76

C．123

D．199参考答案：C2.

若复数满足（为虚数单位），则A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B3.某学校高中每个年级只有三个班，且同一年级的三个班的羽毛球水平相当，各年级举办班级羽毛球比赛时，都是三班得冠军的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.的展开式中的系数是A.1

B.2

C.3

D.12参考答案：C试题分析：根据题意，式子的展开式中含的项有展开式中的常数项乘以中的以及展开式中的含的项乘以中的两部分，所以其系数为，故选C.考点：二项式定理.5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（

）A.

7

B.8

C.9

D.10参考答案：D6.某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩，（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为

（

）

A．200

B．300

C．400

D．600参考答案：A7.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为

（A）2

（B）1

（C）

（D）

参考答案：

C作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。由得，即,此时OM的斜率为，选C.8.已知全集U=R，集合，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.设F1，F2是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|?|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，由此，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，∴4c2﹣4a2=2mn=4，∴b2=c2﹣a2=1，∴b=1，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．10.若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50参考答案：A【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==．区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于函数f（x）=2sin（2x﹣）（x∈R），有下列命题：①y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称

②y=f（x）的图象关于点（，0）对称③若f（x1）=f（x2）=0，可得x1﹣x2必为π的整数倍④y=f（x）在（﹣，）上单调递增⑤y=f（x）的图象可由y=2sin2x的图象向右平移个单位得到⑥y=f（x）的表达式可改写成y=2cos（2x+），其中正确命题的序号有．参考答案：①④【考点】命题的真假判断与应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数的图象和性质，逐个选项判断可得．【解答】解：由2x﹣=kπ+可得x=+，k∈Z，当k=﹣1时，可得函数的一条对称轴为x=﹣，故选项①正确；由2x﹣=kπ可得x=+，k∈Z，令+=可解得k=?Z，即y=f（x）的图象不关于点（，0）对称，故选项②错误；∵函数的周期为=π，若f（x1）=f（x2）=0，可得x1﹣x2必为的整数倍，故选项③错误；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]?（﹣，），故y=f（x）在（﹣，）上单调递增，故选项④正确；函数y=2sin2x的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）的图象，而不是f（x）=2sin（2x﹣）的图象，故选项⑤错误；由诱导公式可得y=2sin（2x﹣）=2cos[﹣（2x﹣=2cos[（2x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）≠2cos（2x+），故选项⑥错误．故答案为：①④12.函数，则函数的零点个数是

.参考答案：.试题分析：根据已知函数画出函数的图像如下图所示，由图可知，的根的个数有3个，即，，，于是当时，有2个实数根；当时，有3个实数根；当时，有2个实数根；综上所示，方程有7个实数根，即函数的零点个数有7个，故应填.考点：1、分段函数的图像；2、函数与方程；13.已知球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为，则线段AB的长度为________.参考答案：2由于球面距离为，设球心角为，所以，在中，为等边三角形，所以AB=2.

14.（5分）（2012?湛江模拟）已知⊙O的割线PAB交⊙OA，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为2．参考答案：【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：由于PAB与PCD是圆的两条割线，且PA=3，AB=4，PO=5，我们可以设圆的半径为R，然后根据切割线定理构造一个关于R的方程，解方程即可求解．解：设⊙O的半径为R则PC=PO﹣OC=5﹣RPD=PO+OD=5+R又∵PA=3，AB=4，∴PB=PA+AB=7由切割线定理易得：PA?PB=PC?PD即3×7=（5﹣R）×（5+R）解得R=2故答案：2【点评】：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，设出未知的线段根据圆幂定理列出满足条件的方程是解答的关键．15.如图，正六边形的两个顶点为椭圆的

两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率的值是___________．

参考答案：答案：16.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是

；参考答案：17.在中，的内心，若，则动点的轨迹所覆盖的面积为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知不等式的解集为.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若关于的方程有解，求实数n的值.参考答案：（Ⅰ）由题意得：，故，故或解得：，故；（Ⅱ）由题意得有解，∵，当且仅当时“=”成立，故.19.如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且。求证：（1）D、E、C、F四点共圆；

（2）

参考答案：解：（Ⅰ）如图，连结OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，设∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2．所以∠DGC＝180°－∠DOC＝2(∠1＋∠2)． …3分因为∠DGC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2．又因为∠DEC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，所以∠DEC＋∠F＝180°，所以D，E，C，F四点共圆． …5分

（Ⅱ）延长GE交AB于H．因为GD＝GC＝GF，所以点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC． …8分又因为∠GCE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，所以∠GEC＋∠3＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，所以∠EHA＝90°，即GE⊥AB． …10分略20.（本小题满分12分）

设函数，且，求函数的单调区间及其极大值。参考答案：

3分当时，，在上单增，此时无极大值；

5分当时，或，在和上单调递增，在上单调递减。………8分[K]此时极大值为

9分当时，或，

在和上单调递增，在上单调递减。………11分[K]此时极大值为

12分21.[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．参考答案：解：（1）因为，，所以A可逆，从而．（2）设P(x，y)，则，所以，因此，点P的坐标为(3，–1)．

22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据抛物线C经过点P（1，2），求抛物线C的方程；（Ⅱ）由题意，直线PA与PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0，求出A，B的坐标，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C的方程为y2=ax（a≠0）．[]由抛物线C经过点P（1，2），得a=4，所以抛物线C的方程为y2=4