2022-2023学年河北省邢台市私立华星学校高三数学理测试题含解析

2022-2023学年河北省邢台市私立华星学校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为

（

）（A）

（B）（C）

（D）

参考答案：B2.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：【知识点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．B9B11【答案解析】A

解析：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．【思路点拨】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．3.若则的值为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.“方程有实数根”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B5.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（

）

A．（1，2）

B．（2，+∞）

C．[3，+∞

D．（3，+∞）参考答案：B6.设集合，，若，则A.

B.

C.

D.参考答案：C7.阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是

（

）A．9

B．81

C．729

D．6561参考答案：C

8.函数图象的对称轴方程可能是（

）A． B．

C．

D．参考答案：D略9.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是（

）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样③简单随机抽样参考答案：A略10.定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2） B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2） D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）参考答案：A【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f（x）为常数，可得当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．②若f（x）不是常数，可得y=f（x）关于x=1对称．当x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|＜|x2﹣1|可得f（x1）＞f（x2）．当x1＜1，x2＜1时，同理可得f（x1）＞f（x2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f（x）=c，则f'（x）=0，此时（x﹣1）f'（x）≤0和y=f（x+1）为偶函数都成立，此时当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．②若f（x）不是常数，因为函数y=f（x+1）为偶函数，所以y=f（x+1）=f（﹣x+1），即函数y=f（x）关于x=1对称，所以f（2﹣x1）=f（x1），f（2﹣x2）=f（x2）．当x＞1时，f'（x）≤0，此时函数y=f（x）单调递减，当x＜1时，f'（x）≥0，此时函数y=f（x）单调递增．若x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得x1﹣1＜x2﹣1，即1≤x1＜x2，所以f（x1）＞f（x2）．同理若x1＜1，x2＜1，由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得﹣（x1﹣1）＜﹣（x2﹣1），即x2＜x1＜1，所以f（x1）＞f（x2）．若x1，x2中一个大于1，一个小于1，不妨设x1＜1，x2≥1，则﹣（x1﹣1）＜x2﹣1，可得1＜2﹣x1＜x2，所以f（2﹣x1）＞f（x2），即f（x1）＞f（x2）．综上有f（x1）＞f（x2），即f（2﹣x1）＞f（2﹣x2），故选A．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在正实数集上的连续函数，则实数a的值为_________。参考答案：答案:

12.已知正实数，满足，则的最小值是

．参考答案：．因为，，所以，即，求得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是．又，即，所以．故填．【解题探究】本题考查二元均值不等式的应用．首先由条件得到，再对展开求出其最小值．13.已知集合，，则

.参考答案：.14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为

▲

．参考答案：27分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，m为等差数列项数，且.由得满足条件的n最小值为27.

15.已知幂函数在处有定义，则实数

.参考答案：2略16.已知函数满足：

.参考答案：略17.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是参考答案：如图3，设AC中点为M，连接OM，则OM为[的中位线，于是，且，即．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值.参考答案：（1），所以最小正周期，由，得，故函数的单调递增区间是.（2）因为，所以，所以，因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以.19.（本小题共13分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）求随机变量ξ的期望Eξ.

参考答案：解：（Ⅰ）由题意可得,随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10.当ξ=2时，P（ξ=2）=（3/10）*（3/10）=9/100当ξ=3时，P（ξ=3）=（3/10）*（4/10）*2=24/100当ξ=4时，P（ξ=4）=（4/10）*（4/10）=16/100当ξ=6时，P（ξ=6）=（3/10）*（3/10）*2=18/100当ξ=7时，P（ξ=7）=（4/10）*（3/10）*2=24/100当ξ=10时，P（ξ=10）=（3/10）*（3/10）=9/100随机变量ξ的分布列如下ξ2346710P0.090.240.160.180.240.09（Ⅱ）随机变量ξ的数学期望Eξ=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.20.在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，作两个角α，β，它们终边分别经过点P，Q，其中，Q（sin2θ，﹣1），θ∈R，且．（1）求cos2θ的值；（2）求tan（α+β）的值．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）由题意可得sinα==，由此求得cos2θ、sin2θ的值，可得cos2θ的值．（2）由（1）可得P、Q的坐标，可得tanα和tanβ的值，利用两角和的正切公式求得tan（α+β）的值．【解答】解：（1）由题意可得sinα==得：cos2θ=∴sin2θ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=．（2）由（1）可得α的终边上一点P（，），β的终边上一点Q（，﹣1），∴tanα==，tanβ==﹣3，∴tan（α+β）==﹣．本题主要考查任意角三角函数的定义；考查和角公式；考查学生的字母符号处理能力、运算能力、书写表达能力，属于中档题．21.(本题满分14分）设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为，盈利额为。（1）求与之间的函数关系，并用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）（2）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？

注：可选用数据：.参考答案：（1）根据题意，当购票人数不多于100时，可设与之间的函数关系为

.∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，∴，解得

∴

（2）设每张门票价格提高为元，根据题意，得∴。从而，每张门票最少要37元。22.2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元总计捐款超过500元60

捐款不超过500元

10

总计

附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参考答案：【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，求出K2，得到有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，）．由此能求出ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，则表格数