河南省驻马店市上蔡县实验中学高三数学理测试题含解析

河南省驻马店市上蔡县实验中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若展开式各项系数和为，则展开式中常数项是第（

）项（A）7

（B）6

（C）5

（D）2参考答案：A

2.将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：C3.执行如下图所示的程序框图，输出的值为（

）A．1

B．

C.

D．参考答案：D第一次循环，，第二次循环，，直至，结束循环，输出，选D.4.已知α、β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则的取值范围是()A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知函数的图象经过两点，在内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意画出函数的图像，然后结合图像以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出函数的解析式.【详解】根据题意可以画出函数的图像大致如下因为，由图可知，又因为，所以，所以，因为，由图可知，，解得，又因为，可得，所以当时，，所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图像与性质，属于中档题.这类型题的关键在于结合图像，以及各个参数的几何意义，利用特殊点代入求解.6.下列选项中正确的是（

）A．若且，则；B．在数列中，“”是“数列为递增数列”的必要非充分条件；C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”；D．若命题为真命题，则其否命题为假命题；参考答案：B略7.已知命题P：；命题，则下列判断正确的是（

） A．p是假命题 B．是假命题 C．q是真命题 D．是假命题参考答案：B略8.已知是单位向量且，则的最大值为A．

B．

C．

D．参考答案：D9.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：10.函数的零点所在的一个区间是（

) A． B． C． D．（1，2）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.写出命题“对”的否定：

参考答案：＞0。12.若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是

。参考答案：若三角形为等边三角形，则有，即，所以，即，所以，所以椭圆的离心率为。13.由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．参考答案：2π略14.两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速率为30km/h,B车向东行驶，速率为40km/h,那么A、B两车间直线距离的增加速率为 ．

参考答案：50km/h15.曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是．参考答案：x﹣y+1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．16.对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义，，…，，n=1，2，3，…．满足的点x∈[0，1]称为f的阶周期点．设

则f的阶周期点的个数是__参考答案：略17.已知函数，若的四个根为，且,则=

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.全世界越来越关注环境保护问题，某市监测站点于2016年8月1日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如表：空气质量指数（μg/m3）0﹣5051﹣100101﹣150151﹣200201﹣250空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求n，m出的值，并完成频率分布直方图：（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（3）某人8月1日至8月3日在该市出差，设他遇到空气质量为优的天数为X，若把频率近似看做概率，求X的分布列及期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图求出n=100，m=25，由此能完成频率分布图．（2）由频率分布图能求出平均数、中位数．（3）由题意一天中空气质量为优的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望E（X）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图得：0.004×50=，解得n=100，∵20+40+m+10+5=100，∴m=25，，，，．作出频率分布图如下：（2）由频率分布图得：平均数为：25×0.004×50+75×0.008×50+225125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95，∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为0.008×50=0.4，∴中位数为：50+=87.5．…（3）由题意一天中空气质量为优的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，X的分布列为X0123PX的期望E（X）==．…19.（满分12分）设数列的前项和为.已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，求．参考答案：解：（Ⅰ）由题意，，则当时，.两式相减，得（）.

……………2分又因为，，，……………4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，……5分所以数列的通项公式是（）.

………………6分（Ⅱ）因为，所以，……8分两式相减得，，

………10分整理得，().

………………12分

20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c=8，cosB=．（1）若=4，求b的值；（2）若sinA=，求sinC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据向量的运算=accosB=4，利用余弦定理求b的值即可．（2）利用sinA=，求解cosA的值，sinC=sin（A+B）打开即可求解．【解答】解：由=accosB=4，cosB=．∴ac=16∵a+c=8，可得：a2+c2+2ac=64，即a2+c2=32cosB==解得：b=．（2）∵cosB=．即0＜B＜，∴sinB=，又∵sinA=＜，∴0＜A＜B＜，∴cosA=．则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．21.（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱ABC的底面是正三角形，点M、N分别是的中点，.（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值.

参考答案：22.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面面，已知，，，.（1）设平面与平面的交线为，求证：；（2）求证：；（3）求直线与面所成角的正弦值.参考答案：（1）