信号与线性系统管致中第二章连续时间傅立叶变换

第4章连续时间傅立叶变换

TheContinuoustimeFourierTransform本章的主要内容:连续时间傅立叶变换;傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;傅立叶变换的性质;系统的频率响应及系统的频域分析；

在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就是这一章要解决的问题。4.0引言Introduction在赖时竖域辜可冻以泉看锡到姻，皮如养果圆一链个凯周件期摊信套号馆的犁周踩期锐趋洁于撇无丙穷棵大型，鞠则没周钓期吨信仅号徒将上演量变猫成亩一漠个政非保周示期台信菜号墓；熔反掀过县来冈，被如棉果限将论任董何最非陈周六期糠信招号最进授行垄周宏期坝性亮延驳拓左，源就晌一夕定留能锣形踪蝶成先一两个涉周窗期刑信剥号醒。我称们站把厚非佛周疤期覆信妈号困看锅成助是耕周掘期边信写号旱在们周周期涌趋相于盼无茎穷任大椅时龄的电极惨限态，腊从分而愈考伐查健连尖续爱时蒜间侨傅每立隶叶假级牌数壳在T趋来于震无肌穷属大朱时额的怀变野化珠，唇就男应论该轨能明够则得案到届对宽非并周按期牧信攻号丛的晶频钻域亚表齿示么方健法且。4炕.寒1非讽周巨期守信毕号仙的德表巨示危—臭连辛续零时啦间考傅册立全叶喂变排换R考e柿p愿r落e络s市e酸n欠t包a肆t牙i防o趴n宗o廉f弓A辫p良e抗r姻i析o俊d蠢i娘c冶S测i该g段n坐a摔l瞎s僻:观T悔h青e栏C龙o刷n庆t碌i诸n悬u贩o次u鸦s吓-删T见i拣m慨e寻F模o倘u稳r填i倾e树r邮T信r匹a描n限s棒f汗o意r扒m一君.总从犯傅连立归叶歼级晋数抓到帖傅雁立骄叶命变遥换我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期增大时，频谱的幅度随的增大而下降；谱线间隔随的增大而减小；但频谱的包络不变。再侄次箱考疏察蕉周痛期牧性倘矩旁形峡脉细冲讲的占频坡谱另图逗：

当时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。（a）（b）(a)(b)

00由于也随增大而减小，并最终趋于0，考查的变化，它在时应该是有限的。

于是，我们推断出:当时，离散的频谱将演变为连续的频谱。由当时,如果令则有与周期信号傅立叶级数对比有：这诞表反明币:周柱期数信呀号渣的领频采谱序就霜是汉与锈它晕相稳对外应另的财非走周屑期留信季号竿频筐谱堪的煎样肌本克。根据傅立叶级数表示：连续时间傅立叶变换当时，于是有：傅立叶反变换此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为的复指数信号之和。由于具有频谱随频率分布的物理含义，因而称为频谱密度函数。于菜是霸，卡我圆们记得懒到昏了继对弓非池周乱期垄信敌号喊的冈频六域济描胜述著方叶法这揪一林对搬关扑系穿被普称喂为题连堪续习时采间响傅假立秋叶奏变来换桌对艘。可章见图，什周桐期要信细号皱的朱频拥谱门是血对消应消的吧非挨周就期驴信箭号频笼谱丈的联样齐本；票而荷非驻周毁期选信出号绘的愧频窑谱稻是抚对类应稠的宾周旬期篮信楼号频弦谱书的背包稼络爪。既书然源傅姑立状叶摧变禾换耀的兆引离出隶是遗从论周吓期横信和号弱的锋傅厨立穗叶千级少数忍表渡示奶出逗发势，鸭讨恼论丘周桂期页趋钓于案无抗穷睡大饲时布的腾极后限苹得姑来解的装，宫傅里立征叶勉变摄换麦的皱收锋敛怖问锅题到就厌应谎该打和规傅掘立辱叶钥级柿数叮的孔收沉敛帮相总一蜘致目。二冬.寒傅绘立纸叶领变景换汇的裕收守敛这领表胀明幼能诱量趋有无限约的炉信浆号削其扇傅旋立扣叶丘变活换藏一吼定铲存提在邪。2及.D信i慰r堂i挺c郊h饭l纯e屡t条荡件a.绝对可积条件1.若则存在。也汤有斜相拘应尸的所两牺组打条票件雀：b.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值有限。c.在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。应熊该肚指法出模:这钱些斗条超件称只棉是洒傅探立扯叶坛变班换总存领在底的叫充捡分破条热件。和周期信号的情况一样，当的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现象。

这两组条件并不等价。例如：是平方可积的，但是并不绝对可积。三跳.许常庙用摇信桥号志的目傅欺立疯叶获变艇换钢：1.0102.结隐论弱：实业偶查信狮号长的第傅幕立除叶秒变艘换畅是肆实果偶封函咬数覆。此且时加可铜以逝用姑一尝幅秩图无表泳示军信锄号抵的许频旺谱狂。对此例有103.0这表明中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。01

显然，将中的代之以再乘以，即是相应周期信号的频谱4.矩形脉冲:101000不寸同呈脉夕冲虾宽滚度划对热频月谱屡的锄影持响可霉见汉，信鲁号岸在葱时帖域溜和飘频爱域笑之姿间丽有鞋一垒种蜜相丛反鹅的咽关哥系。(挖称袍为理誉想桂低驻通典滤迎波某器)与串矩特形膏脉汇冲舒情障况栋对叹比悔，久可瞎以肤发突现信列号烈在址时戏域剥和北频瞎域做之更间停存次在枪一矿种梁对掏偶扫关沾系异。5.1，0，100对宜偶得关枣系与可枪表拐示绑如崇下殃:101000

同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。对例5.我们可以想到，如果，则将趋于一个冲激。6.若则有因为所以四受.燃信劳号症的算带酱宽(B谨a蝴n客d犬w滥i瓣d仅t煌h顾o渐f馒S奸i踪蝶g专n讯a域l脑s)喊:由垮信冰号外的蒙频可谱肌可赤以出看缓出版：浑信涨号锅的折主卸要孝能翅量翻总趣是愤集索中猎于腔低愚频固分剧量搅。央另准一逮方亚面钱，乱传光输滴信史号倒的深系韵统群都订具戴有凤自倦己位的化频碗率液特名性莫。普因波而福，评工岭程跃中虎在块传很输放信府号而时映，印没困有膜必炕要袖一冻定沾要晒把窜信鸟号仇的椒所哭有捧频纪率积分担量帽都尤有缠效丑传锹输笨，雪而稻只葡要极保猛证剂将旷占保据狱信弊号狡能影量货主茄要病部红分是的塔频糖率辫分环量赖有狭效婶传友输吸即牺可忙。较为刮此把，衫需爷要洒对杆信挺号简定介义娘带纤宽党。晃通洁常禁有乎如船下阔定弃义理带蚊宽勇的当方旧法旗:2.对包络是形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。

下降到最大值的时对应的频率范围,此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。1.以码矩概形渴脉泽冲鼠为润例轻，桥按沫带嘱宽洽的狱定鞭义涂，但可群以意得雾出恢，脉膨宽微乘思以丙带匹宽卸等箭于园常加数顽C(闭脉宁宽毯带宴宽莫积紫)甚。喘这企清泪楚物地末反幅映较了灾频使域岔和重时仇域猜的羽相厦反陷关庭系图。4阻.电2周淡期障信坟号接的黎傅含立尤叶据变犹换到锄此破为寸止菌，钥我家们熔对煤周俱期暖信哥号圾用善傅霞立率叶连级铺数终表腹示桌，女非其周犹期微信灾号橡用呼傅卷立馆叶哲变古换档表拉示鸡。俘因膛为示数株学腊描携述见方碍法柳的厉不馆一林致芒，鄙在祝某臂些舅情炼况走下些,亩会品给者我皮们闸带染来忌不津便合。今但链由万于喊周差期钥信搁号庄不块满钻足D饮i计r蠢i用c患h尼l酷e瓶t条俗件杰，粉因赵而唐不配能丑直哨接村从初定庸义渠出串发庆，炎建精立杰其银傅母立衣叶挂变丧换夜表飞示俘。T仰h察e脂F寨o闯u岸r喊i佣e颈r顽T高r盒a止n卷s教f株o授r旅m致a拢t京i辩o幻玉n刚o昼f糖P象e狮r乐i判o降d痕i咱c六S称i期g盒n崖a催l价s所对应的信号考查这款表僻明周炸期欺性倒复考指舱数英信激号殃的驴频传谱赌是剃一慎个柜冲薯激。于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为就有周期信号的傅立叶变换表示若则

这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数。例1：

例2：

例3：

均匀冲激串010例厕4本.拐周牢期拿性吼矩蒸形脏脉没冲014踢.尖3连慕续嘴时鸽间党傅堆立险叶记变甚换饼的鸡性副质讨暂论槽傅务立享叶唱变逆换刷的遍性爸质斯，蹄旨康在丘通尾过宇这否些型性佣质哑揭厦示凶信震号双时梅域竿特辜性舍与诉频拥域炕特展性平之缸间汉的殿关爹系臭，纺同抖时歇掌航握恰和份运茅用感这培些让性乏质矛可芒以铲简亦化溜傅歼立延叶滋变腰换炎对煌的僚求屿取朴。1请.选线租性俘:L庆i补n太e捐a瓶r拥i什t境y则P蛇r停o爽p页e拘r疲t兴i帐e楼s傍o混f君t帐h惕e饲C跃o踢n加t跌i偷n置u脑o锹u眨s肾-解T捉i克m糊e驻F替o匠u顿r缝i旗e晃r刺T落r杠a方n眼s秆f季o舰r杰m若2淡.叨时旗移盐:T梳i条m筋e竿S丛h砌i己f勤t批i躁n蚁g这摸表爪明纸信开号浓的惑时朽移济只仗影树响懒它稠的怨相酸频逐特雀性孔，场其构相骗频参特谦性牲会绿增捷加映一竟个如线乔性艺相腊移恨。则若3球.厅共舒轭炭对爪称赤性梢:C雹o畅n帖j有u数g耻a围t跃e尚a饭n李d妙S拥y较m蛛m周e苹t用r乏y若

则所以即若是实信号，则于是有:由可得即实呜部优是冶偶铸函塌数虚选部档是鸭奇左函毒数若则可得出即仔：模进是转偶辞函良数坏，京相却位致是捉奇蔽函俗数若则可得如果即信号是偶函数。则表峡明搞：实汤偶吓信踩号深的益傅糠立刚叶具变气换悲是工偶遍函奴数乳。表明是实函数。若即信号是奇函数，同样可以得出:所以又因为表明是奇函数表明是虚函数若则有:例:的频谱:101/20-1/21/20将分解为偶部和奇部有4罗.离时眼域遮微杨分墓与覆积秆分山:D瓣i紧f闸f肿e粮r守e形n候t洗i岂a字t炸i臣o哀n哄a恒n刮d役I英n低t暗e断g拔r许a求t怀i利o煮n(香可永将氧微疯分辆运膊算斧转控变旗为忙代陪数抗运彼算共)(将两边对微分即得该性质)由时域积分特性从也可得到:（时域积分特性）则若5呆.捐时搬域威和哨频翠域盗的优尺迟度额变知换雄:S俩c死a险l性i蛋n洞g当时，有尺考度子变输换透特誉性然表馅明约：信蚕号予如锤果盖在良时扔域拿扩坑展柴a邪倍答，抄则舟其迫带托宽掩相遇应填压眼缩荡a除倍姐，校反招之捷亦泊然朵。这愁就粮从锄理挎论刑上讲证屈明万了乘时艇域行与营频嗽域吴的缩慧相斩反匪关怖系师，益也旧证笼明川了旨信膜号赌的杂脉羡宽恒带遥宽宗积咱等驶于傲常脚数槐的灵结神论煎。则若时址域晴中据的吗压音缩渴（柔扩器展宾）手对桥应否频案域灰中呢的膏扩景展痰（瓶压元缩洲）6刺.状对减偶腥性遣:D寇u笼a改l垃i魂t灶y若则证明：也可由得到证明。根据得这蜓就雅是移堂频拔特驰性例如:由有对偶关系利用时移特性有再次对偶有由钻对量偶垫性要可寒以疮方胳便脚地日将诱时员域凤的狼某那些粮特技性伙对搭偶佛到宴频括域由得所以频文域察微浇分落特会性该拔特晕性宗也负可滑由劳对庭偶腰性楚从标时些域灾微励分纺特烟性摸得亚出尿:由有利用时域微分特性有对再次对偶得频文域调微披分筋特践性由聪时荐域宇积狼分甘特糖性恩，所可站对扁偶碰出习频顺域细积仍分遍特雷性利娃用时珍域孔积舒分廉特脚性再次对偶由有频次域饿积陕分菌特石性7凉.P阳a则r拳s打e乐v致a挎l定恩理泡:若则这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。4漫.热4卷透积消性昨质T思h印eC宰o旅n非v扑o府l排u械t睬i招o汉n矿P滨r斩o乳p烂e便r羊t口y一饱.尺卷异积计特恒性有：由辉于芽卷否积薯特药性扭的洪存垒在设，援使幅对L暂T茶I系踩统兄在兄频缠域问进使行卫分嗓析喂成汪为接可竹能奖。原本晨质居上底，晨卷肥积愿特欺性赠的除成弃立漠正着是议因毁为丧复织指嘴数岁信凤号梨是劈燕一扯切L衬T敞I系句统侦的害特繁征描函课数将。则若由表明：故让有可将分解成复指数分量的线性组合，每个通过LTI系统时都要受到系统与对应的特征值的加权。这个特征值就是所以

由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。

鉴于与是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了二久.L拌T拴I系已统构的妄频参域破分裙析扇法糠:根泉据盆卷松积茅特峰性灵,葡可惭以攀对L劈燕T苹I系佳统体进他行枕频苹域烫分沾析置,哪其眠过谜程劣为咬:1.由2.根据系统的描述，求出3.4.4汪.镰5相晓乘椒性哄质T侮h后eM浴u撇l就t若i懂p盼l岁i润c疏a晨t氧i袜o枕n贡P遮r项o念p浆e必r缴t暗y利蕉用勺对裂偶有性马可孔以从恐卷卖积鬼性马质恰得困出咬相呈乘高性隐质若则两卵个轰信告号艘在当时怖域绳相纱乘腰，念可尿以歼看月成易是包由欲一惧个碰信问号孔控吩制学另临一有个卫信确号票的恩幅食度浅，畏这绳就籍是幅伤度片调承制。队其私中抽一闯个趣信积号族称到为载分波，巡寿另夺一溪个问是调蛛制散信谦号。例1:移频性质例饱2僚.正脸弦祖幅刃度朱调它制仪:1001/2正窃弦倾幅仙度傅调欺制景等内效俯于四在涌频讲域碰将孔调游制湿信旅号慈的况频游谱允搬所移屡到软载渠频风位缴置旱。例紫3绒.同涝步殿解笨调耗:1/21/41/4此时，用一个频率特性为的系统即可从恢复出。20只要即可。具胁有败此婶频夜率裁特及性蝇的L酬T直I系承统扩称喇为理景想云低天通伪滤吹波百器。例医4哲.中浅心鞋频嘴率眨可遍变纸的升带云通标滤犹波江器亡：A1理想低通的频率响应1等芳效德带毛通帐滤弊波亡器

相当于从中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为的带通滤波器，改变即可实现中心频率可变。4.6傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表(自学)工健程督实疤际耻中仔有敬相秤当桃广蒜泛尺的L懂T塞I系圆统甩其迹输陷入尊输李出紧关迫系功可盼以臣由辟一春个秒线退性富常怖系罩数捏微涛分印方身程励描浮述添。老一暖般权形州式话的L吊C巴C访D雷E是歌:4柔.陷7由河线教性板常瓶系绒数夏微雹分奔方扁程晃表非征晨的武系侵统一惩.炕由L蔑C套C况D掏E描勉述泊的L候T辟I系债统伞的锣频辩率培特宋性哲:S熄y下s技t五e帆m黎s薄C委h岂a惯r灭a姓c笼t摆e局r运i睡z企e炸d售b蚂y稍L略i集n渴e幻玉a条r坏C完o沸n售s弄t止a水n边t邻-油C团o痕e乡丰f甜f磁i降c凤i苍e悦n坦t蛮D尼i泥f告f啊e制r掉e鞠n芝t初i备a安l失E基q骑u电a着t瓦i碗o府n域s由于是一切LTI系统的特征函数，因此，当系统的输入为时，系统所产生的响应就是。表明在的情况下，求解LCCDE即可得到。但是这种方法太麻烦，很少使用。对L扮C谱C努D四E两艇边寇进肺行桑傅俯立累叶长变嚼换素有闪：由于

可见由LCCDE描述的LTI系统其频率特性是一个有理函数。由此可以看出，对由LCCDE描述的LTI系统，当需要求得其时(比如时域分析时)，往往是由做反变换得到。对琴有旦理党函洽数滩求营傅汇立友叶小反带变蛾换统通劲常斗采誓用部狸分挠分砍式窄展油开和利加用垂常挪用废变俱换隔对进繁行毒。二总.源频迷率暮响茅应歉的重求萌法淹：1总