2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题-含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题-含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，请将答案填写在答题卡上，不要在本试卷上答题。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号，并核对条形码上的信息。2.选择题使用2B铅笔填涂，非选择题使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字迹清晰。3.请在答题卡规定的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。4.请保持答题卡清洁，不要折叠或破损。5.在做选考题时，请按要求作答，并在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑。第I卷一、选择题1.已知复数$z=\frac{10}{-2i}$（其中$i$为虚数单位），则$|z|=$$\text{A.}33\qquad\text{B.}32\qquad\text{C.}23\qquad\text{D.}22$2.设集合$A=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$，$B=\{(x,y)|y=3x\}$，则$A\capB$的子集的个数是$\text{A.}4\qquad\text{B.}3\qquad\text{C.}2\qquad\text{D.}1$3.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为$\text{A.}\frac{20}{382}\qquad\text{B.}\frac{20}{315}\qquad\text{C.}\frac{1}{5}\qquad\text{D.}\frac{1}{7}$4.已知正三角形$ABC$的边长为$a$，那么$\triangleABC$的平面直观图$\triangleA′B′C′$的面积为$\text{A.}\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\qquad\text{B.}\frac{a^2\sqrt{3}}{48}\qquad\text{C.}\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\qquad\text{D.}\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$5.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间$[，]$内，则输入的实数$x$的取值范围是$\text{A.}(-\infty,-2]\qquad\text{B.}[-2,-1]\qquad\text{C.}[-1,2]\qquad\text{D.}[2,+\infty)$6.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为$\text{A.}96\qquad\text{B.}80+42\pi\qquad\text{C.}96+4(2-1)\pi\qquad\text{D.}96+4(22-1)\pi$题：7.上海某小学组织了6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆。每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有多少种？答案：根据组合数学知识，从6个博物馆中选出一个不去，剩下5个博物馆，每个年级有5种选择方案，所以总方案数为6×5×5×5×5×5=24×5^5。而选出甲博物馆的方案有两个，所以答案为2×24×5^4。8.根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天。已知甲说：“我在1日和3日都有值班”；乙说：“我在8日和9日都有值班”；丙说：“我们三人各自值班的日期之和相等。”据此可判断丙必定值班的日期是哪两天？答案：设甲、乙、丙分别值班的日期为{a1,a2,a3,a4},{b1,b2,b3,b4},{c1,c2,c3,c4}，则根据题意可列出以下方程组：a1+a3+b1+b2+c1+c2=1+3+8+9+x+ya1+a3+b1+b2+c3+c4=1+3+8+9+x+ya2+a4+b3+b4+c1+c2=1+3+8+9+x+ya2+a4+b3+b4+c3+c4=1+3+8+9+x+y其中，x和y为丙值班的日期。将甲、乙的值班日期代入方程组，可得：2+c1+c2=1+3+8+9+x+y2+c3+c4=1+3+8+9+x+y将两个式子相加，可得：4+c1+c2+c3+c4=2(1+3+8+9)+2(x+y)化简后得：c1+c2+c3+c4=62+x+y因为每人值班4天，所以c1、c2、c3、c4必须两两不同。因此，c1、c2、c3、c4中有且仅有两个数相等，且它们的和为31+x+y/2。因为31+x+y/2必须是1至12中两个不同的数之和，所以只有2+11和5+6两种可能，即丙必定值班的日期是2日和11日。9.设x，y满足条件3x－y－6≤0，x≥0，y≥0，且目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12。则a/b的最小值为多少？答案：根据线性规划的基本原理，最大值点一定在可行域的某个顶点上。因为3x-y-6≤0，所以可行域是一个三角形，其三个顶点分别是(0,0)，(2,0)和(0,6)。因为目标函数z=ax+by的最大值为12，所以可得以下三个不等式：2a≤126b≤122a+6b≤12将这三个不等式化简，可得：a≤6b≤2a+3b≤6因此，可行域的顶点只有(0,0)、(2,0)和(0,6)三个。分别计算这三个顶点处目标函数的取值，可得：(0,0)：z=0(2,0)：z=2a≤12，即a≤6(0,6)：z=6b≤12，即b≤2因此，a/b的最小值为6/2=3。11.在△ABC中，AB/BC=3/2，AC/BC=4/3，则sinA：sinB：sinC=多少？答案：根据正弦定理可得：AB/sinC=BC/sinAAC/sinB=BC/sinA将两个式子相除，可得：AB/AC=sinC/sinB又因为AB/AC=3/4，所以sinC/sinB=3/4。又因为sinA+sinB+sinC=2，所以sinA/sinC=2-sinB/sinC-1=1-sinB/sinC。将sinC/sinB=4/3代入，可得sinA：sinB：sinC=5:3:4。12.若函数f(x)=x^3-3x在(a,6-a^2)上有最小值，则实数a的取值范围是多少？答案：因为f(x)在R上是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。因此，若f(x)在(a,6-a^2)上有最小值，则f(-a)=-f(a)在(-6+a^2,-a)上也有最小值。因此，只需要研究f(x)在[0,6]上的最小值即可。在[0,6]上，f(x)的一阶导数为f'(x)=3x^2-3，二阶导数为f''(x)=6x。令f'(x)=0，可得x=±1。因为f''(1)>0，f''(-1)<0，所以x=1是f(x)的最小值点。因此，a的取值范围是(-1,1)。17.设$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，已知$a_n>0$，$2a_{2n}+2a_n=4S_n+3$.(1)求$\{a_n\}$的通项公式：$$\begin{aligned}2a_{2n}+2a_n&=4S_n+3\\a_{2n}+a_n&=2S_n+\frac{3}{2}\\a_{2n}+a_n&=a_{2n-1}+a_{n-1}+\frac{3}{2}\\a_{2n}-a_{2n-1}&=a_{n-1}-a_n+\frac{3}{2}\\\end{aligned}$$因此有：$$\begin{aligned}a_2-a_1&=a_1-a_2+\frac{3}{2}\\a_2&=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}a_1\\a_3-a_2&=a_2-a_3+\frac{3}{2}\\a_3&=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}a_2=\frac{9}{8}+\frac{1}{2}a_1\\a_4-a_3&=a_3-a_4+\frac{3}{2}\\a_4&=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}a_3=\frac{21}{16}+\frac{3}{4}a_1\end{aligned}$$可以猜测$a_n$的通项公式为$a_n=\frac{3}{2^{n-2}}+\frac{3}{2^{n-4}}a_1$，可以用数学归纳法证明，略去。(2)设$b_n=a_{2^n}$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$。$$\begin{aligned}T_n&=\sum_{i=1}^nb_i\\&=\sum_{i=1}^na_{2^i}\\&=\frac{3}{2}+\frac{9}{8}+\frac{21}{16}+\cdots+\frac{3}{2^{n-2}}\\&=2-\frac{3}{2^{n-1}}\end{aligned}$$18.人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间$[0,10]$内的一个数来表示，该数越接近$10$表示满意度越高。为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各$500$人进行了调查，调查数据如表所示：|幸福感指数|男居民人数|女居民人数||------------|----------|----------||$[0,2)$|$10$|$20$||$[2,4)$|$20$|$10$||$[4,6)$|$220$|$180$||$[6,8)$|$125$|$175$||$[8,10]$|$125$|$125$|(1)在图中绘出频率分布直方图（说明：将各个小矩形纵坐标标注在相应小矩形边的最上面），并估算该地区居民幸福感指数的平均值。答案：频率分布直方图如下所示：平均值为：$$\begin{aligned}\bar{x}&=\frac{\sum_{i=1}^5x_if_i}{\sum_{i=1}^5f_i}\\&=\frac{1\times15+3\times30+5\times200+7\times150+9\times125}{500}\\&=5.2\end{aligned}$$(2)若居民幸福感指数不小于$6$，则认为其幸福。为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取$4$对夫妻进行调查，用$X$表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求$X$的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）。答案：抽取的$4$对夫妻中，满足幸福感指数不小于$6$的夫妻对数为$X\simB(4,p)$，其中$p$为幸福感指数不小于$6$的夫妻占所有夫妻的比例，可以用样本数据估计$p$：$$\begin{aligned}\hat{p}&=\frac{\text{满足幸福感指数不小于}6\text{的夫妻对数}}{\text{总夫妻对数}}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$$因此$X\simB(4,0.5)$，其分布列为：|$X$|$0$|$1$|$2$|$3$|$4$||----|----|----|----|----|----||$P$|$1/16$|$1/4$|$3/8$|$1/4$|$1/16$|期望为：$$\begin{aligned}E(X)&=np\\&=4\times\frac{1}{2}\\&=2\end{aligned}$$19.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$PA\perp$面$ABCD$，$AD\parallelBC$，$\angleBAD=90^\circ$，$AC\perpBD$，$BC=1$，$AD=PA=2$，$E$，$F$分别为$PB$，$AD$的中点。(1)证明：$AC\perpEF$；(2)求直线$EF$与平面$PCD$所成角的正弦值。答案：(1)设$M$为$AC$与$EF$的交点，连接$MF$，$ME$，$MC$，$MD$，则$MF=ME$，$MC=MD$，$AC\perpBD$，$BD\perpEF$，因此$\triangleMEF\cong\triangleMCD$，从而$\angleEAF=\angleMAF=\angleMCF=\angleECF$，即$AE\parallelCF$，$AC\parallelEF$，因此$AC\perpEF$。(2)在平面$PCD$上取一点$Q$，连接$EQ$，$FQ$，则$\angleEQF$即为$EF$与平面$PCD$所成角。设$H$为$AC$中点，则$PH=\sqrt{PA^2-AH^2}=2\sqrt{2}$，$HB=1$，$BE=BF-1$，由勾股定理得$BF=\sqrt{5}$，$BE=\sqrt{5}-1$，因此$EF=\sqrt{5}-1$。在$\triangleEHF$中应用正弦定理，得：$$\sin\angleEQF=\frac{EF}{EH}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}=\frac{2}{3+\sqrt{5}}$$20.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为$\frac{ab^2}{4}$。(1)求椭圆的方程。(2)设直线$l$与椭圆相交于不同的两点$A$，$B$，已知点$A$的坐标为$(-a,0)$，点$Q(0,y)$在线段$AB$的垂直平分线上，且$QA\cdotQB=4$，求$y$的值。答案：(1)设椭圆的焦点为$F_1$，$F_2$，则$2a=AF_1+AF_2$，$e=\frac{AF_1}{a}$，因此$AF_1=ae=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$AF_2=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$2a=\sqrt{3}a$，$a=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$b=a\sqrt{1-e^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，因此椭圆的方程为$\frac{x^2}{\frac{4}{3}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1$。(2)直线$l$的斜率为$k=\frac{y}{x+a}$，因此$l$的方程为$y=kx+ka$。设$M$为线段$AB$的中点，则$M$的坐标为$(0,0)$，$AM=BM=a$，$AQ=QB=\frac{2}{\sqrt{3}}$，因此$\triangleAQM\sim\triangleBQM$，从而$\frac{y}{x+a}=\frac{x-a}{y}$，解得$x=\frac{a(y^2-a^2)}{y^2-a^2}$，$y=\frac{2a^2}{\sqrt{y^4-4a^2}}$，由$QA\cdotQB=4$得$y^4-4a^2=\frac{16a^4}{y^4-4a^2}$，整理得$y^4-4a^2=\pm4a^2\sqrt{3}$，因为$y>0$，所以$y^4-4a^2=4a^2\sqrt{3}$，解得$y=\sqrt{6}$。题目中的公式有些格式错误，已经修正，以下是修改后的文章：已知曲线C1的参数方程为y=2sinα，曲线C2的参数方程为x=2cosβ，y=2+2sinβ，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程。C1的极坐标方程为r=2sinα，C2的极坐标方程为r=2+2sinβ。(2)已知射线l1：θ=α(0<α<π)，将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ=α-π，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|·|OQ|的最大值。首先，由C1的极坐标方程可得P点的极坐标为(2sinα,α)，由C2的极坐标方程可得Q点的极坐标为(2+2sinβ,β-π)。因此，OP的长度为2sinα，OQ的长度为2+2sinβ。要求|OP|·|OQ|的最大值，可以转化为求sinα和sinβ的最大值。由于射线l1顺时针旋转得到射线l2，所以有α-π=β，即β=α+π。将β代入C2的极坐标方程中，可得r=2+2sin(α+π)=2-2sinα，即sinα=(2-r)/2。因此，要使sinα最大，需要使r最小，此时r=2cos(π/2-α)，代入C1的极坐标方程中可得sinα=r/2=cos(π/2-α)。由于sin和cos都在[-1,1]的范围内，因此sinα和cos(π/2-α)的最大值均为1，此时|OP|·|OQ|的最大值为2(2+2)=8。23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲。设不等式-2<|x-1|-|x+2|<4的解集为M，且a,b∈M。(1)证明：a+b<11/4。对于任意的x，有|x-1|-|x+2|≤1-(-2)=3，即-3<|x-1|-|x+2|<4。因此，-3<|a-1|-|a+2|<4，-3<|b-1|-|b+2|<4。将两个不等式相加，得到-6<|a-1|+|b-1|-|a+2|-|b+2|<8。根据三角形不等式，有|a-1|+|b-1|≥|a+b-2|，|a+2|+|b+2|≥|a+b+4|。因此，-6<|a+b-2|-|a+b+4|<8，即-2<|a+b-3|<4。由于-2<|a+b-3|<4，因此a+b-3<4，即a+b<7。又因为a和b均在M中，因此有-2<|a-1|-|a+2|<4，-2<|b-1|-|b+2|<4。将两个不等式相加，得到-4<|a-1|+|b-1|-|a+2|-|b+2|<8，同样根据三角形不等式可得-4<|a+b-3|<8，即-1<|a+b-3/2|<2。因此，a+b-3/2<2，即a+b<11/4。(2)比较|1-4ab|和2|a-b|的大小，并说明理由。将不等式-2<|x-1|-|x+2|<4转化为-2+x+2<|x-1|<4+x+2，即-4<x-1<6，即-3<x<7。因此，a和b均在区间(-3,7)内。考虑|1-4ab|和2|a-b|的大小关系。首先，由于a,b∈M，有-2<|a-1|-|a+2|<4，-2<|b-1|-|b+2|<4。将两个不等式相加，得到-4<|a-1|+|b-1|-|a+2|-|b+2|<8，同样根据三角形不等式可得-4<|a+b-3|<8，即-1<|a+b-3/2|<2。因此，|a-b|=|(a+b-3/2)-(3/2-b)|≤|a+b-3/2|+|3/2-b|<2+5/2=9/2。又因为-2<|a-1|-|a+2|<4，所以|a-1|<|a+2|+4，即|a-1|-|a+2|<4。同理，有|b-1|-|b+2|<4。将两个不等式相加，得到-8<|a-1|+|b-1|-|a+2|-|b+2|<8，同样根据三角形不等式可得-8<|a+b-3|<12。因此，|1-4ab|=|a-b+2||a+b-3|≤9|a+b-3|<81。因此，有|1-4ab|<81，2|a-b|<9，因此|1-4ab|<2|a-b|。6.根据三视图，可以得知这个几何体是一个边长为4的正方体挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥得到的。因此，圆锥的母线长为22。几何体的平面部分面积为6×4^2-π×2^2×2=96-4π，圆锥的侧面积为π×2×22=42π。因此，几何体的表面积为96-4π+42π=96+38π。因此，选项C是正确的。7.由于只有两个年级选择了甲博物馆，因此有C6种情况，其中其他四个年级都有5种选择。因此，总共有54种情况。根据乘法原理，可以得到C6×5种情况，因此选项D是正确的。8.1~12的日期之和为78，因此三个人各自值班的日期之和相等，即每人值班四天的日期之和是26。甲在1日和3日都有值班，因此甲余下的两天只能是10号和12号。乙在8日和9日都有值班，因此11号只能是丙去值班了。剩下的日期是2号、4号、5号、6号和7号，显然6号只可能是丙去值班了。因此，选项C是正确的。9.不等式组表示的平面区域为阴影部分。当直线ax+by=z(a>0，b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)取得最大值12，因此4a+6b=12，即2a+3b=6。解方程可得a=3/2，b=1/2。因此，最小值为4，选项D是正确的。10.由题意可得OP+OF^2/OP-F^2=OF^2/OF1^2，因此OP^2-OF^2=OF1^2，因此OP=OF1=c，且PF1⊥PF2。由双曲线的定义可得PF1^2/2a-3PF2^2/12a=1，因此PF2^2=3PF1^2。又因为sin30°=PF1/PF2，因此PF1/PF2=1/√3，解得PF1=√3a/2，PF2=a/2。因此，2a=c(3-1)，解得a=3+c，因此2F1F2=c(3-1)/a=2c/3，因此F1F2=c/3，sinA:sinB:sinC=PF1:PF2:F1F2=√3:1:2，因此选项C是正确的。11.由条件可得2a^2+2c^2-2b^2=3a^2+3b^2-3c^2=6b^2+6c^2-6a^2=k，因此可以求得a、b、c的值。利用正弦定理可得sinA:sinB:sinC=2a/√k:2b/√k:2c/√k=a/√(k/2):b/√(k/2):c/√(k/2)=a:b:c。因此，选项C是正确的。1.根据勾股定理，AB·BC·cos(π-B)=BC·CA·cos(π-C)=CA·AB·cos(π-A)，推导得ac·cosB=ab·cosC=bc·cosA。所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=bc:ac:ab=2:3:4，选C。2.对f(x)求导得f'(x)=3x^2-3，令其等于0解得x=±1，再求二阶导数f''(x)=6x，可知x=1是极小值点，x=-1是极大值点。因为f(x)在区间(a,6-a^2)上有最小值，所以极小值点必在该区间内，即a<1<6-a^2。又因为f(a)=a^3-3a≥f(1)=-2，所以a^3-3a+2≥0，解得-2≤a<1。所以a的取值范围是[-2,1)，选C。3.原式=2log[4/(3√3)]+2-log3/4=3+log(4/3)/3=3+(1/3)log2，选3+log(4/3)/3。4.f(x)=1-cos^2(π/3+x)-3cos^2x=sin^2x-3cos^2x+1=2sin(2x-π/3)+1。当π/6≤x≤π/3时，π/6≤2x-π/3≤π/3，-1≤sin(2x-π/3)≤1，所以f(x)的取值范围是[2,3]，选[2,3]。5.设PQ的中点为N(x',y')，在直角三角形PBQ中，PN=BN，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以OP^2=ON^2+PN^2=ON^2+BN^2，所以x'^2+y'^2+(x'-1)^2+(y'-1)^2=4。所以线段PQ中点的轨迹方程为x^2+y^2-x-y-1=0，选x^2+y^2-x-y-1=0。6.化简得p^2+t^2+2pt/t^2+2pt=2，移项得t^2+2pt-2=0，解得t=-p±√(p^2+2)，选-t=p-√(p^2+2)。1.给定直线OM的斜率公式为k=2t/(t^2+1)，当t≠0时，直线OM的斜率为k=2t/(t^2+1)，因此|k|<=2/|t|。当且仅当t=±√2时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为±√2。2.(1)根据数列的递推关系a(n+1)+a(n)=4S(n)+3，利用作差法得到a(n+1)-a(n)+2(a(n+1)-a(n))=4a(n+1)，即2(a(n+1)+a(n))=(a(n+1)-a(n))(a(n+1)+a(n+1))。由a(n)>0，得到a(n+1)-a(n)=2。由a(1)=3，得到a(n)=2n+1，因此{a(n)}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a(n)=2n+1。(2)由a(n)=2n+1，得到b(n)=a(n)/a(n+1)=(2n+1)/(2n+3)，因此数列{b(n)}的前n项和为T(n)=∑[k=1,n]b(k)=∑[k=1,n](2k-1)/(2k+1)。3.(1)根据频率分布直方图，可以得到平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46。(2)男居民幸福的概率为0.5，女居民幸福的概率为0.6，因此一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3。因此X的可能取值为0,1,2,3,4，且X服从二项分布B(4,0.3)，其分布列为P(X=k)=C(k,4)0.3^k0.7^(4-k)，k=0,1,2,3,4。因此E(X)=np=4×0.3=1.2。(1)根据题意，可以建立以点A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴的三维直角坐标系。则各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,1,0)，D(0,2,0)，