高等数学D二重积分概念

高等数学D二重积分概念第1页，课件共23页，创作于2023年2月

多元函数积分学,包括二重积分、三重积分,曲线积分与曲面积分.它们是定积分概念的推广.

与一元函数定积分有关的是被积函数和积分区间,当被积函数为二元或三元函数,积分范围为平面或空间区域时,这种积分就是二重或三重积分;当积分范围是一条曲线或一块曲面时,那就是曲线积分或曲面积分.上页下页第2页，课件共23页，创作于2023年2月第8.1节二重积分的概念与性质

第八章上页下页8.1.1二重积分的概念8.1.2二重积分的性质1、理解二重积分的概念;2、了解重积分的性质,理解二重积分的中值定理.基本要求第3页，课件共23页，创作于2023年2月解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面，求其体积.“大化小,以不变代变,求近似和,取极限”上页下页第4页，课件共23页，创作于2023年2月1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“以不变代变”在每个3)“求近似和”则中任取一点小曲顶柱体(也表面积)上页下页第5页，课件共23页，创作于2023年2月4)“取极限”令上页下页第6页，课件共23页，创作于2023年2月2.非均匀平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,以不变代变,求近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.上页下页第7页，课件共23页，创作于2023年2月2)“以不变代变”中任取一点3)“求近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量上页下页第8页，课件共23页，创作于2023年2月两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,以不变代变,求近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:上页下页第9页，课件共23页，创作于2023年2月二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,上页下页第10页，课件共23页，创作于2023年2月引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作上页下页第11页，课件共23页，创作于2023年2月二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D

上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.上页下页第12页，课件共23页，创作于2023年2月三、二重积分的几何意义与物理意义:上页下页当被积函数大于零时,二重积分是曲顶柱体的体积．当被积函数小于零时，几何意义：的平面薄片的质量.表示密度为物理意义：特殊地：若为D的面积，则二重积分是曲顶柱体体积的负值．第13页，课件共23页，创作于2023年2月8.1.2、二重积分的性质(k

为常数)为D的面积,则上页下页第14页，课件共23页，创作于2023年2月特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有上页下页第15页，课件共23页，创作于2023年2月7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此上页下页第16页，课件共23页，创作于2023年2月当曲顶柱体的竖坐标连续变化时,曲顶柱体的体积积分中值定理的几何意义：等于以为高的同底平顶柱体的体积.称为平均高度.在D上的上页下页第17页，课件共23页，创作于2023年2月例1.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上上页下页第18页，课件共23页，创作于2023年2月例2.

估计下列积分之值解:

D

的面积为由于积分性质5即:1.96I2D上页下页第19页，课件共23页，创作于2023年2月例3.

判断积分的正负号.解:

分积分域为则原式=猜想结果为负

但不好估计.舍去此项上页下页第20页，课件共23页，创作于2023年2月内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)上页下页第21页，课件共23页，创作于2023年2月被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:上页下页第22页，课件共23页，创作于20