高中数学矩阵与变换新人教选修

高中数学矩阵与变换课件新人教选修1第1页，课件共55页，创作于2023年2月

通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。主要内容2第2页，课件共55页，创作于2023年2月2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用

具体内容3第3页，课件共55页，创作于2023年2月定位

低起点——以初中数学知识为基础；低维度——以二阶矩阵为研究对象；形→数——以(几何图形)变换研究二阶矩阵。意图

在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对进一步学习和工作打下基础。

本专题的定位和意图4第4页，课件共55页，创作于2023年2月主要数学思想（1）数学化思想；（2）数学建模；（3）数形结合的思想；（4）算法思想。重点

通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想。难点

切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。本专题重点、难点及主要数学思想5第5页，课件共55页，创作于2023年2月2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用具体内容解析6第6页，课件共55页，创作于2023年2月2.1二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分.如:1.本专题研究的矩阵是二阶矩阵,对高阶矩阵只是要求学生初步了解.二阶矩阵如:两行两列7第7页，课件共55页，创作于2023年2月2.1二阶矩阵与平面向量3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向量）、生活实例等引出.即在大量举例的基础上引出矩阵的概念和表示方法.如:某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨、160万吨；从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。

城市A城市B城市C甲矿区

乙矿区8第8页，课件共55页，创作于2023年2月2.1二阶矩阵与平面向量4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A,行矩阵和列矩阵通常用希腊字母α、β等表示.5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等.6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:9第9页，课件共55页，创作于2023年2月2.1二阶矩阵与平面向量7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.表示的几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍.8.二元一次方程组可以表示为系数矩阵10第10页，课件共55页，创作于2023年2月2.2几种常见的平面变换1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:2.恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换,都把自己变为自己.11第11页，课件共55页，创作于2023年2月2.2几种常见的平面变换3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.伸压变换不是简单地把平面上的点(向量)“向下”压,而是向x轴或y轴方向压缩.12第12页，课件共55页，创作于2023年2月2.2几种常见的平面变换4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵.13第13页，课件共55页，创作于2023年2月2.2几种常见的平面变换5.一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.或点14第14页，课件共55页，创作于2023年2月2.2几种常见的平面变换6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转θ的变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.15第15页，课件共55页，创作于2023年2月2.2几种常见的平面变换16第16页，课件共55页，创作于2023年2月2.2几种常见的平面变换7.投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵,相应的变换为投影变换.7.投影变换矩阵是映射,但不是一一映射.17第17页，课件共55页，创作于2023年2月2.2几种常见的平面变换8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.18第18页，课件共55页，创作于2023年2月2.2几种常见的平面变换9.切变变换矩阵把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移个单位.10.研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时,只需考察顶(端)点的变化结果即可.19第19页，课件共55页，创作于2023年2月旋转矩阵20第20页，课件共55页，创作于2023年2月21第21页，课件共55页，创作于2023年2月2.3变换的复合与矩阵的乘法1.矩阵乘法的法则是:2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.3.矩阵乘法不满足交换率,这可能是学生第一次遇到乘法不满足交换率的情况.此时,我们可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换率,在适当时候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)满足交换率.22第22页，课件共55页，创作于2023年2月23第23页，课件共55页，创作于2023年2月24第24页，课件共55页，创作于2023年2月25第25页，课件共55页，创作于2023年2月2.3变换的复合与矩阵的乘法4.要求学生从几何变换角度理解AB.5.要求学生从几何变换角度理解矩阵乘法不满足销去率.26第26页，课件共55页，创作于2023年2月27第27页，课件共55页，创作于2023年2月28第28页，课件共55页，创作于2023年2月2.3变换的复合与矩阵的乘法6.有关转移矩阵.假设某市的天气分为晴和阴两种状态,若今天晴,则明天晴的概率为,阴的概率为,若今天阴则明天晴的概率为,阴的概率为,这些概率可以通过观察某市以往几年每天天气的变化趋势来确定,通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵概率,对应的矩阵为转移矩阵,而将这种以当前状态来预测下一时段不同状态的概率模型叫做马尔可夫链,如果清晨天气预报报告今天阴的概率为,那么明天的天气预报会是什么?后天呢?29第29页，课件共55页，创作于2023年2月2.3变换的复合与矩阵的乘法30第30页，课件共55页，创作于2023年2月2.3变换的复合与矩阵的乘法31第31页，课件共55页，创作于2023年2月2.3变换的复合与矩阵的乘法7.转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则做乘法时,容易出问题.32第32页，课件共55页，创作于2023年2月2.4逆变换与逆矩阵2．课文从“走过去”、“走回来”的生动形象的话语中引入了逆矩阵和逆变换．这样安排让学生在轻松氛围中掌握“找到回家的路”的本质是已知矩阵A，能否找到一个矩阵B，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同．也便于学生更好的理解逆矩阵，从而为例1的顺利解决打下基础．3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识．1.对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.33第33页，课件共55页，创作于2023年2月2.4逆变换与逆矩阵4．既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让抽象的问题更贴近学生实际．5．矩阵的行列式为,则如果则矩阵存在逆矩阵.6.矩阵是否可逆的判断

34第34页，课件共55页，创作于2023年2月2.4逆变换与逆矩阵7.逆矩阵的求解．

8.矩阵的逆矩阵为

35第35页，课件共55页，创作于2023年2月2.4逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱袜子”解决了学生可能会出现的认知障碍．学生可以借助于此更好地理解公式（AB）-1=B-1A-1．

10．新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通过证明命题“已知A，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B=C．”而既做到前后章节间的呼应，又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率．11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.36第36页，课件共55页，创作于2023年2月2.4逆变换与逆矩阵12.37第37页，课件共55页，创作于2023年2月2.4逆变换与逆矩阵12.AX=B

X=A-1B13.AXC=B

X=A-1BC-1

14.38第38页，课件共55页，创作于2023年2月2.4逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.39第39页，课件共55页，创作于2023年2月2.5特征值与特征向量1.在本节开始部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感性理解在矩阵的作用下某些向量的“不变性”，从而为学生学习特征值和特征向量打下坚实基础．2.3.将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的乘法表示来理解，其目的在于引出矩阵的特征多项式．课本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将之作为一个工具．40第40页，课件共55页，创作于2023年2月2.5特征值与特征向量4.5.41第41页，课件共55页，创作于2023年2月2.5特征值与特征向量42第42页，课件共55页，创作于2023年2月2.5特征值与特征向量6.一个特征值对应着多个特征向量.7.有了特征值和特征向量的知识,我们就可以方便地计算多次变换的结果.43第43页，课件共55页，创作于2023年2月2.5特征值与特征向量44第44页，课件共55页，创作于2023年2月2.5特征值与特征向量投影变换45第45页，课件共55页，创作于2023年2月2.6矩阵的简单应用1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识.2.通过本节的学习,让学生了解到矩阵来源于实际生活需要.3.课本介绍了矩阵在数学领域内的应用,也介绍了它在经济学领域、密码学领域、生物学领域的应用.46第46页，课件共55页，创作于2023年2月2.6矩阵的简单应用47第47页，课件共55页，创作于2023年2月2.6矩阵的简单应用48第48页，课件共55页，创作于2023年2月2.6矩阵的简单应用49第49页，课件共55页，创作于2023年2月2.1二阶矩阵与平面向量2.2几种常见的平面变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.4逆矩阵与逆变换2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用

学习总结报告主要内容50第50页，课件共55页，创作于2023年2月教学建议51第51页，课件共55页，创作于2023年2月1.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般m×n阶矩阵以及(aij)形式的矩阵.教学建议2.矩阵的引入要从具体的实例开始,通过具体的实例让学生认识到,某些几何变换可以用矩阵表示,丰富学生对矩阵几何意义的理解,并引导学生用映射的观点来认识矩阵,解线性方程组.不提倡先讲矩阵,后讲变换.3.要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法,并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算率.52第52页，课件共55页，创作于2023年2月4.在新课讲解过程中适当地复习映射和一