高考数学二轮复习培优专题第10讲 恒成立能成立3种常见题型（含解析）

第10讲恒成立能成立3种常见题型【考点分析】考点一：恒成立问题若函数SKIPIF1<0在区间D上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；考点二：存在性问题若函数SKIPIF1<0在区间Ｄ上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则对不等式有解问题有以下结论：不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；考点三：双变量问题①对于任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；②对于任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；③若存在SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；④若存在SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；⑤对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；⑥对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；⑦若存在SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0⑧若存在SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．【题型目录】题型一：利用导数研究恒成立问题题型二：利用导数研究存在性问题题型三：利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】题型一：利用导数研究恒成立问题【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.【例2】【2022年全国甲卷】已知函数SKIPIF1<0．(1)若fx≥0，求【答案】(1)(−【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞f'(x)=(1x−1当x∈(0,1),f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1,+若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即a≤e+1，所以【例3】已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求SKIPIF1<0，分别讨论SKIPIF1<0不同范围下SKIPIF1<0的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合SKIPIF1<0，分别求出SKIPIF1<0的范围再求并集即可.【详解】解：（1）由已知定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.（2）由（1）可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，若SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，只需SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0成立；当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.所以综上所述：SKIPIF1<0.【例4】已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正常数）.（1）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的单调区间与极值；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；【答案】（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0的极大值是SKIPIF1<0，无极小值；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；（2）依题意可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0的极大值是SKIPIF1<0，无极小值.（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【例5】已知函数SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的极值点；（2）若SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，无极大值点；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的极值点.（2）由题设知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，构造SKIPIF1<0并应用导数研究单调性求最小值，即可求SKIPIF1<0的范围．【详解】（1）由题设，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增减；∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，无极大值点.（2）由题设，SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增；∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【题型专练】1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由题可得SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，然后求函数SKIPIF1<0的最大值即得.【详解】由题可得SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0，单调减区间为SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的极值；(2)若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)极小值是SKIPIF1<0，无极大值.(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由题设可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0的符号研究SKIPIF1<0的单调性，进而确定极值.（2）SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，转化为：SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，通过求导求SKIPIF1<0的单调性进而求得SKIPIF1<0的最大值，即可求出实数a的取值范围.(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值且为SKIPIF1<0，无极大值.(2)SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.实数a的取值范围为：SKIPIF1<0.3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；(2)若对任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）求函数SKIPIF1<0的单调递增区间，即解不等式SKIPIF1<0；（2）参变分离得SKIPIF1<0，即求SKIPIF1<0的最小值.(1)SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增(2)对任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，分离参数得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故a的取值范围是SKIPIF1<0.4.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的最小值；(2)若SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数在定义域上的最值即可；（2）由原不等式恒成立分离参数后得SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，利用导数求最小值即可.(1)由已知得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.故SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.5．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式SKIPIF1<0恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点SKIPIF1<0切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数SKIPIF1<0的单调性，当a=1时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,符合题意；当a>1时，可证SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0存在零点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0时，研究SKIPIF1<0.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数SKIPIF1<0在点(1,f(1)处的切线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0切线与坐标轴交点坐标分别为SKIPIF1<0,∴所求三角形面积为SKIPIF1<0．（2）［方法一］：通性通法SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0∴g(x)在SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0成立.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴存在唯一SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0>1,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】：同构由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在R上单调递增．由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减．所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以a的取值范围为SKIPIF1<0．［方法三］：换元同构由题意知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时为增函数，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，分离参数后有SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．［方法四］：因为定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调递增．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．下面证明当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立．令SKIPIF1<0，只需证当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调递增，则SKIPIF1<0．因此要证明SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，只需证明SKIPIF1<0即可．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．上面两个不等式两边相加可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立．当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，显然不满足SKIPIF1<0恒成立．所以a的取值范围为SKIPIF1<0．【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数SKIPIF1<0的单调性，求出其最小值，由SKIPIF1<0即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成SKIPIF1<0，再根据函数SKIPIF1<0的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令SKIPIF1<0，再同构，可将原不等式化成SKIPIF1<0，再根据函数SKIPIF1<0的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利用SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0的取值范围，再进行充分性证明即可．题型二：利用导数处理存在性问题【例1】（2022·河北秦皇岛·三模）函数SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意，将问题转化为求解函数SKIPIF1<0的最大值问题，先通过导数方法求出函数SKIPIF1<0的最大值，进而求出答案.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由题意，只需SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故选：D.【例2】已知函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有极大值．(1)求函数SKIPIF1<0；(2)存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求导后，根据SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即可得解；（2）转化为SKIPIF1<0，再利用导数求出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值，然后解不等式SKIPIF1<0可得结果.(1)∵SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足题意,∴SKIPIF1<0；(2)存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，等价于SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【例3】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0上存在x使得不等式SKIPIF1<0成立，则a的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】将原式化为SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，求导得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即得SKIPIF1<0，两边取对数分离参数SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，利用导数求解函数SKIPIF1<0的最小值即可.【详解】解：不等式SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为在SKIPIF1<0上存在x使得不等式SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即a的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【题型专练】1.已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的单调区间；(2)若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0的定义域并对SKIPIF1<0进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出SKIPIF1<0的单调区间；（2）将题意等价于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有解，设SKIPIF1<0，即在SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0进行求导，令SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，分类讨论SKIPIF1<0与区间SKIPIF1<0的关系，并利用导数研究函数SKIPIF1<0的单调和最小值，结合SKIPIF1<0，从而得出实数SKIPIF1<0的取值范围.(1)解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0.(2)解：由题可知，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，等价于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有解，可设SKIPIF1<0，即在SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，不合题意；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不符合题意；综上得，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问题：（1）利用导数解决单调区间问题，应先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调区间和最值，再进行相应证明.2．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，确定SKIPIF1<0的值；(2)若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由已知可得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，然后利用导数分析函数SKIPIF1<0的单调性，结合极值点的定义检验即可；（2）由参变量分离法可得出SKIPIF1<0，利用导数求出函数SKIPIF1<0的最大值，即可得出实数SKIPIF1<0的取值范围.（1）解：因为SKIPIF1<0，该函数的定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0增极大值减所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，合乎题意，故SKIPIF1<0.（2）解：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.3.已知函数SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0（1）求直线SKIPIF1<0的方程；（2）求证：除切点SKIPIF1<0之外，函数SKIPIF1<0的图像在直线SKIPIF1<0的下方；（3）若存在SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围【答案】（1）y＝x﹣1；（2）见详解；（3）（﹣∞，1）.【解析】【分析】（1）求导得SKIPIF1<0，由导数的几何意义k切＝f′（1），进而可得答案．（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝SKIPIF1<0﹣x+1，求导得h′（x），分析h（x）的单调性，最值，进而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，则除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜SKIPIF1<0成立，令g（x）＝SKIPIF1<0，x＞1，只需a＜g（x）max．【详解】（1）SKIPIF1<0，由导数的几何意义k切＝f′（1）＝1，所以直线m的方程为y＝x﹣1．（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝SKIPIF1<0﹣x+1，SKIPIF1<0，函数定义域为（0，+∞），令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，p′（x）＝﹣SKIPIF1<0﹣2x＜0，所以p（x）在（0，+∞）上单调递减，又p（1）＝0，所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以h（x）≤h（1）＝0，所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，若除切点（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，所以除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，则若存在x∈（1，+∞），使得不等式SKIPIF1<0＞a成立，即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜SKIPIF1<0成立，令g（x）＝SKIPIF1<0，x＞1，g′（x）＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）•SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，所以在（1，+∞）上，q（x）单调递减，又q（1）＝0，所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减，所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）单调递减，又SKIPIF1<0，所以a＜1，所以a的取值范围为（﹣∞，1）．4.已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0．①求实数SKIPIF1<0的值；②求SKIPIF1<0的单调区间和极值．（2）若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）①SKIPIF1<0；②减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0，极小值为SKIPIF1<0，无极大值；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求得函数的导数SKIPIF1<0，①根据题意得到SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的值；②由①知SKIPIF1<0，结合导数的符号，以及极值的概念与计算，即可求解；（2）设SKIPIF1<0，根据存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，得到SKIPIF1<0成立，结合导数求得函数SKIPIF1<0的单调性与最小值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，①因为SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.②由①得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得极小值，极小值为SKIPIF1<0，无极大值，综上可得，函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0，极小值为SKIPIF1<0，无极大值.（2）因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0根据题意知存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最小值，最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.5.已知函数SKIPIF1<0.（1）当a=1时，求曲线SKIPIF1<0在x=1处的切线方程；（2）求函数SKIPIF1<0的单调区间；（3）若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求a的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单增，在SKIPIF1<0单减；（3）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求出函数导数，将切线横坐标代入得到斜率，再求出切点纵坐标，最后写出切线方程；（2）求导后，通分，分SKIPIF1<0两种情况讨论得到单调区间；（3）当SKIPIF1<0时，代特值验证即可，当SKIPIF1<0时，函数最大值大于0，解出即可.【详解】由题意，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以切线方程为：SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单增；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单增；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单减.（3）由（2），若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足题意；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0.题型三：利用导数处理恒成立与有解问题【例1】（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.若对SKIPIF1<0，都SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题意易知SKIPIF1<0恒成立，则可等价为对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，利用参变分离，可变形为SKIPIF1<0恒成立，易证SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，即可选出答案.【详解】对SKIPIF1<0，都SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，等价于SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立.记SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数在不等式的恒成立与有解问题的应用，属于难题，此类问题可按如下规则转化：一般地，已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0；（4）若SKIPIF1<0，