安徽省阜阳市颍上县红星乡陈店中学高二数学理上学期期末试卷含解析

安徽省阜阳市颍上县红星乡陈店中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正方体中，与对角线异面的棱有

（

）A．3条

B．4条

C．6条

D．8条参考答案：C2.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A． B．3 C． D．参考答案：D【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】设椭圆短轴的一个端点为M．根据椭圆方程求得c，进而判断出∠F1MF2＜90°，即∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±，进而可得点P到x轴的距离．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于a=4，b=3，∴c=＜b∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x轴的距离为．【点评】本题主要考查了椭圆的基本应用．考查了学生推理和实际运算能力．3.△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B．x＜2 C． D．参考答案：C【考点】HP：正弦定理．【分析】△ABC有两组解，所以asinB＜b＜a，代入数据，求出x的范围．【解答】解：当asinB＜b＜a时，三角形ABC有两组解，所以b=2，B=60°，设a=x，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足xsin60°＜2＜x，即．故选C．4.如图，正方形OABC内切圆，一直线L由OA开始绕O逆时针匀速旋转，角速度为弧度/秒，经t秒后阴影面积为，则图象为（

）A. B.C. D.参考答案：C分析】观察图像可知，阴影部分面积一直增加，再结合阴影部分面积增加的快慢，即可得出结果.【详解】观察图像可知，面积变化情况为：一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢；因此，对应函数的图像变化率先增大后减小，故选C【点睛】本题主要考查函数图像的识别，根据题意能确定函数变化率即可，属于常考题型.5.已知{an}是等差数列，且，则(

)A．12

B．16

C．24

D．48参考答案：C6.函数的最大值为（）A．e﹣1B．eC．e2D．参考答案：A

考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：先找出导数值等于0的点，再确定在此点的左侧及右侧导数值的符号，确定此点是函数的极大值点还是极小值点，从而求出极值．解答：解：令，当x＞e时，y′＜0；当x＜e时，y′＞0，，在定义域内只有一个极值，所以，故答案选A．点评：本题考查求函数极值的方法及函数在某个点取得极值的条件．7.设a、b、c都是正数，则、、三个数

（

）A.都大于2

B.都小于2

C.至少有一个大于2

D.至少有一个不小于2参考答案：D略8.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列.则第30个数为(

)A.1278

B.1346

C.1359

D.1579参考答案：9.在△ABC中，

，则A等于（

）A．60°

B．45°

C．120°

D．30°参考答案：D10.已知，则(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若四棱柱的底面是边长为1的正方形，且侧棱垂直于底面，若与底面成60°角，则二面角的平面角的正切值为

．参考答案：12.若实数x，y满足等式x2+y2=4x﹣1，那么的最大值为．x2+y2的最小值为．参考答案：,7﹣4.【考点】基本不等式．【分析】①x2+y2=4x﹣1，令=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）﹣4x+1=0，令△≥0，解得k即可得出．②令x=2+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．代入x2+y2，利用三角函数平方关系及其单调性即可得出．【解答】解：①∵x2+y2=4x﹣1，∴（x﹣2）2+y2=3．令=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）﹣4x+1=0，令△=16﹣4（1+k2）≥0，解得，因此的最大值为．②令x=2+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．则x2+y2==7+4cosθ≥7﹣4，当且仅当cosθ=﹣1时取等号．13.已知,若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是

．参考答案：14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，a＝4，b＋c＝6，且b<c，则b=

.参考答案：2略15.若△ABC的三条中线AD．BE、CF相交于点M，则＝参考答案：解析：设AB的中点为D，由平行四边形法则得所以＝016.对于线性相关系数，叙述正确的是

；①，越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱；②，越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱；③且越接近于1，相关程度越强；越接近于0，相关程度越弱；④以上说法都不对参考答案：③17.写出命题“若a＞0，则a＞1”的逆否命题：___________________________．参考答案：若a≤1,则a≤0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）用数学归纳法证明：当n为正整数时，13＋23＋33＋……＋n3＝参考答案：19.（本小题10分）设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。(1)

求圆的极坐标方程；(2)求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．参考答案：20.假设某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0参考公式：=，=﹣试求：（1）y与x之间的回归方程；（2）当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值．（2）根据第一问做出的a，b的值，写出线性回归方程，当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．【解答】解：（1）根据题表中数据作散点图，如图所示：从散点图可以看出，样本点都集中分布在一条直线附近，因此y与x之间具有线性相关关系．利用题中数据得：=（2+3+4+5+6）=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5，xiyi=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3，=22+32+42+52+62=90，所以==1.23，=﹣=0.08，∴线性回归方程为=1.23x+0.08．（2）当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38（万元），即当使用10年时，估计维修费用是12.38万元．21.已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：﹣＜f（x1）＜﹣1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，利用导数研究其单调性可得当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，即可得出．（II）f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），可得f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，可得0＜x1＜1＜ln2a，进而得出．【解答】（Ⅰ）解：a=1时，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，令f″（x）＞0，解得x＜ln2，此时函数f′（x）单调递增；令f″（x）＜0，解得x＞ln2，此时函数f′（x）单调递减．∴当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，∴函数f（x）在R上单调递减．（Ⅱ）证明：f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，∴0＜x1＜1＜ln2a，由