山东省烟台市福山第一中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

山东省烟台市福山第一中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数，，，则在复平面内的对应点位于

A．第一象限

B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B2.已知为上的可导函数，当时，，则关于的函数的零点个数为（

）

A.1

B.2

C.0

D.0或2参考答案：C略3.曲线在处的切线方程为

A.

B.

C.

D.

参考答案：A略4.已知变量x，y满足不等式组，则的最小值为（

）A.－4 B.－2 C.0 D.4参考答案：B【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】解：由变量x，y满足不等式组，画出相应图形如下：可知点,，在处有最小值，最小值为－2.故选：B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.5.若，则是的

（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A6.如图，某地一天中时至时的温度变化曲线近似满足函数（其中，），则估计中午时的温度近似为（

）A． B． C．

D．参考答案：B7.设非空集合A，B满足A?B，则（）A．?x0∈A，使得x0?BB．?x∈A，有x∈BC．?x0∈B，使得x0?AD．?x∈B，有x∈A参考答案：B略8.定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（

）A．0B．1C．3D．5参考答案：D9.在梯形中，与相交于点.若则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.设等比数列的公比，前n项和为，则（

）A．

B．

C．2

D．4参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为等差数列{}的前n项和，若＝1，＝4，则的值为

__________.参考答案：略12.已知，，则的值为

．参考答案：因为所以。13.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．参考答案：【考点】8G：等比数列的性质；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：14.已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为

.参考答案：1因为函数的保值区间为，则的值域也是，因为因为函数的定义域为，所以由，得，即函数的递增区间为，因为的保值区间是，所以函数在上是单调递增，所以函数的值域也是，所以，即，即。15.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则．上面命题中，真命题的序号是

▲

（写出所有真命题的序号）．参考答案：略16.若定义在上的奇函数对一切均有，则_________.参考答案：017.设全集为，集合，集合，则()=___________参考答案：【知识点】交、并、补集的混合运算．

A1【答案解析】.解析：∵集合B={x|x﹣3≤0}={x|x≤3}，全集为R，∴RB={x|x＞3}，又∵A={x|1＜x＜4}，∴A∩（RB）={x|3＜x＜4}，故答案为：{x|3＜x＜4}【思路点拨】根据已知中，全集为R，集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x﹣3≤0}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望.参考答案：本题考查了随机事件的概率分布列和数字特征期望值的计算，考查了概率中组合的计算，立足基础，难度较小。（1）选对A饮料的杯数分别为，，，，，其概率分布分别为：，，，，。

所以选对A的杯数x的分布列为：X01234P

（2）。19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且是首项和公差均为的等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）是首项和公差均为的等差数列，可得=，即Sn=．利用递推关系即可得出an．（2）==+=2+﹣，利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）∵是首项和公差均为的等差数列，∴==，∴Sn=．∴n=1时，a1=S1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n．n=1时也成立．∴an=n．（2）==+=2+﹣，∴数列{bn}的前n项和Tn=2n+++…+=2n+﹣．20.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）根据PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根据面面垂直的判定定理，可证出平面PAB⊥平面PCB．（Ⅱ）利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根据题中数据结合平行线分线段成比例，算出DC=2AB，从而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面AEC、平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…（Ⅱ）证明：∵PC⊥AD，∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，∴∠DCA=∠BAC=，又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形，∴DC=AC=（AB）=2AB．连接BD，交AC于点M，则==2．连接EM，在△BPD中，==2，∴PD∥EM，又PD?/平面EAC，EM?平面EAC，∴PD∥平面EAC．…（Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）设=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则⊥，⊥，∵=（3，3，0），=（0，2，1），∴解得x=，y=﹣，∴=（，﹣，1）．设=（x′，y′，1）为平面PBC的一个法向量，则⊥，⊥，又=（3，0，0），=（0，﹣3，3），∴，解得x′=0，y′=1，∴=（0，1，1）．（取PB中点为F，连接AF可证为平面PBC的一个法向量．）∵cos＜，＞=|=，∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为..…注：以其他方式建系的参照给分．21.函数y=f（x）对任意实数x、y满足f（x）+f（y﹣x）=f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．（1）求证：y=f（x）是奇函数；（2）判断y=f（x）的单调性，并证明；（3）对任意t∈[1，2]，f（tx2﹣2x）＜f（t+2）恒成立，求x的范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【专题】综合题．【分析】（1）对x，y分别进行赋值，结合f（x）+f（y﹣x）=f（y），利用奇函数的定义可证明；（2）利用单调性的定义，结合当x＞0时，f（x）＜0，取y＞x，则y﹣x＞0，所以f（y﹣x）＜0，利用当x＞0时，f（x）＜0，即可证得；（3）利用（2）的结论，将抽象不等式化为具体不等式，变换主元，构建一次函数，即可解决．（1）证明：令x=y=0，代入f（x）+f（y﹣x）=f（y），那么f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0再令y=0，那么f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以函数y=f（x）是奇函数；（2）解：函数y=f（x）在整个R上是减函数证明：令y＞x，则y﹣x＞0，∵f（x）+f（y﹣x）=f（y），∴f（y）﹣f（x）=f（y﹣x），因为当x＞0，f（x）＜0，而y﹣x＞0，所以f（y﹣x）＜0所以f（y）﹣f（x）＜0，即y＞x，f（y）＜f（x），所以函数y=f（x）在整个R上是减函数；（3）解：对任意t∈[1，2]，f（tx2﹣2x）＜f（t+2）恒成立∴对任意t∈[1，2]，tx2﹣2x＞t+2恒成立∴对任意t∈[1，2]，（x2﹣1）t﹣2x﹣2＞0恒成立，令函数h（t）=（x2﹣1）t﹣2x﹣2分三种情况：i、当x2﹣1=0时，x=1或﹣1，代入发现不符合（x2﹣1）t﹣2x﹣2＞0ii、当x2﹣1＞0，即x＞1或x＜﹣1时，函数h（t）=（x2﹣1）t﹣2x﹣2是增函数，所以最小值为h（1）=x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）＞0，所以x＞3或x＜﹣1所以最后符合的解是：x＞3或x＜﹣1iii、当x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1时