湖北省荆州市石首滑家镇中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

湖北省荆州市石首滑家镇中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺,问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）A．128π平方尺

B．138π平方尺

C.140π平方尺

D．142π平方尺参考答案：B2.如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）A． B．C． D．参考答案：C试题分析：根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积为，故选C.考点：根据几何体的三视图求其体积.3.执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C．4.函数的零点所在的区间是

（

）A．（0，1） B．（1，2）

C．（2，3） D．（3，10）参考答案：C5.已知函数（m为常数）在区间上有最大值是3，那么，此函数在上的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.下列说法错误的是（）A．已知函数，则是奇函数B．若非零向量，的夹角为，则“”是“为锐角”的必要非充分条件C．若命题,则D．的三个内角、、的对边的长分别为、、，若、、成等差数列，则

参考答案：A7.设则的值(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A8.给出下面的程序框图，那么，输出的数是（

）

A．2450

B.2550

C.5050

D.4900参考答案：A9.已知三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为

A．3

B．6

C．36

D．9参考答案：A因为三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，所以我们可以把三棱锥看做一个长方体的角，这个长方体对角线的长为，所以三棱锥外接球的半径为长方体对角线的一半，因此该三棱锥的外接球的半径为3.10.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率是(

) A．

B．

C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则

．参考答案：3812.函数的定义域是________．参考答案：略13.已知，若恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：略14.二次函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为

.参考答案：略15.已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________.参考答案：a≤1解析：因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。16.设抛物线的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且，若，则的值为________.参考答案：3过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.故选：D．

17.已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为

．参考答案：90°【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为120°，∴===﹣1．∵，∴，∴=，∴﹣（﹣1）=，∴=0．∴．∴与的夹角为90°．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，且在点处的切线方程为.(Ⅰ）求的值；(Ⅱ）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；

(Ⅲ）设为两曲线，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为.若取，试判断当直线与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.参考答案：解：(Ⅰ），∴，又，∴．

…………………3分(Ⅱ）；∴由得，∴或．

…………………5分∵，当且仅当或时，函数在区间内有且仅有一个极值点．

…………………6分若，即，当时；当时，函数有极大值点，若，即时，当时；当时，函数有极大值点，综上，的取值范围是．

…………………8分(Ⅲ）当时，设两切线的倾斜角分别为，则，∵，∴均为锐角，

…………9分当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则；当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则．由得，，得，即，此方程有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形．……11分由得，，得，即，

设，，当时，，∴在单调递增，则在单调递增，由于，且，所以，则，即方程在有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形．

因此，当时，有两处符合题意，所以直线能与轴围成等腰三角形时，值的个数2．

………14分略19.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米小时)是车流密度（单位:辆千米）的函数，当桥上的的车流密度达到200辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数.(Ⅰ）当时，求函数的表达式;(Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆每小时）可以达到最大，并求最大值（精确到1辆小时）.参考答案：（1）由题意，当时，；当时，设由已知，解得.故函数的表达式为.(2)由题意并由（1）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，当且仅当即时等号成立.所以当时，在区间上取得最大值.综上可知，当时，在区间上取得最大值.即当车流密度为100辆千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆小时20.如图:已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AD与平面BCD所成的角为30°,且AB=BC=2.(1)求三棱锥A-BCD的体积；(2)设M为BD的中点,求异面直线AD与CM所成角的大小(结果用反三角函数值表示)。参考答案：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则VA﹣BCD====．

（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．21.已知{an}是各项为正数的等比数列，,数列{bn}的前n项和为Sn，.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;（Ⅱ）求证:对任意的，数列为递减数列.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，利用和建立方程组，求出与的值，注意到，再利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；（Ⅱ）先求出数列的通项公式，并求出数列的前项和，利用作差法得出来说明数列为递减数列。【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为，则，

解得或（舍），

.

所以；

证明：（Ⅱ）因为，

所以是以为首项，以2为公差的等差数列.

所以，

.

因为，因为，所以，所以数列为递减数列。【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及数列单调性的定义，在证明数列的单调性时，一般有以下几种证法：①作差法：，则数列为递增数列；，则数列为常数列；，则数列为递减数列；②当数列为正项数列，可采用作商法：，则数列为递增数列；，则数列为常数列；，则数列为递减数列。22.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=，f5（x）=sin（+x），f6（x）=xcosx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式；D8：排列、组合的实际应用．【分析】（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解