3.3+幂函数+教案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3幂函数一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第3节，幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。学情分析学生在初中已学习过正比例函数、反比例函数、二次函数，y=x，y=x−1，y=x2的图教学目标1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象，理解它们的性质；2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法；3、能应用幂函数性质解决简单问题。教学重难点重点：幂函数的概念、图象和性质；难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函数图象的内容和方法。教学过程（一）情景导入1、问题1：（P89）我们知道函数可以来刻画现实世界中的实际问题，请看下面几个例子：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数；（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；（3）如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数；（4）如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数（5）如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=1tkm/s，即v=t－1，这里v是2、师：观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征看，它们有什么共性？答：（1）都是幂的形式（2）幂的底数是自变量，指数是常数（3）系数都为1。【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征。（二）新课探究探究一：幂函数的概念1、概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数。对于幂函数，我们只讨论时的情况，即：。2、师问：在这几个函数中，哪些是你熟悉的函数？能否根据幂函数的定义再举出一些幂函数？[练习1]下面几个函数中，哪些函数是幂函数？①；②；③；④；⑤；⑥注意:幂函数的解析式必须是y=xa的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”。[练习2]（学生板演）已知幂函数y=f(x)的图象经过点（2，2），求f(4)。探究二：幂函数的图象及性质1、师：了解幂函数概念，接着应该研究幂函数的什么内容？如何研究幂函数的性质呢？答：应该研究函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质。问：如何画函数图象？答：列表、描点、连线。学生活动：请用不同颜色的笔在同个坐标系中画出y=x，y=x−1（师提示：观察解析式y=x3、请观察函数图象并结合解析式，将你发现的结论填在书90页的表格中，再核对。定义域RRR值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数增减增函数增，减公共点（1，1）4、请尝试总结以上五个函数的共同性质。幂函数图象都过定点（1，1），且不经过第四象限；当α是奇数时，y=xα是奇函数；当当α>当α<在直线x=1的右侧，按“逆时针”方向，幂指数α[练习3]（多选题）关于函数y=x定义域为R在区间（0，+∞）内单调递增图象不过点（0，0）是偶函数[练习4]判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”.所有幂函数的图象均过点（0，0）幂函数一定具有奇偶性任何幂函数的图象都不经过第四象限[练习5]利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小。①（−1.5）3和（−1.4）【设计意图】引导学生对观察得到的性质进行理性思考，巩固学生对幂函数的概念，图象及性质的理解。例题讲解（书P90）例：证明幂函数fx=在[0，+∞)上是增函数证明：∀则fx1∵0≤x∴x1−∴f∴幂函数fx=在[0，+∞)上是增函数【设计意图】利用解析式对结论进行严格证明，提高学生思维的严谨性。同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证明中的重要作用。（四）拓展提升1、如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2−m−2的图象在(0,+∞)上单调递减,求实数m2、已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3、已知（a−2【设计意图】拓展提升学生对幂函数的定义，图象及性质的理解。（五）课堂小结让学生总结本节课学到的知识及方法六、布置作业1、书P91：练习3+习题1.22、练习册：P73-P743.3幂函数3.3幂函数幂函数概念幂函数的图像性质