2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（满分40分，每小题4分）1．（4分）设全集，集合，则．2．（4分）在中，的取值范围是．3．（4分）将化成有理数指数幂的形式．4．（4分）已知集合，，若，则的取值构成的集合是．5．（4分）已知，，用、表示．6．（4分）已知集合，，，如果且，那么．7．（4分）若直角三角形斜边长等于，则直角三角形面积的最大值为．8．（4分）若不等式的解集为，则实数的取值范围是．9．（4分）关于的不等式的解集是，则的解集是．10．（4分）对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数，且，则的上确界为．二、选择题：（满分12分，每小题4分）11．（4分）下列表述错误的是A． B．， C．， D．若，则12．（4分）对任意实数，，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②若，，则；③“”是“”的充分条件；④若，则；⑤若，，则．其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．413．（4分）已知集合为正整数，则的所有非空真子集的个数是A．30 B．31 C．510 D．511三、解答题：（满分0分）14．已知命题，命题．（1）求集合，；（2）若是的充分条件，求的取值范围．15．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．16．解关于的不等式．17．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为（米单位时间），单位时间内用氧量为；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为．（1）将表示为的函数；（2）试确定下潜速度，使总的用氧量最少．18．（1）已知，若恒成立，求实数的取值范围．（2）已知集合，，且，求实数，的取值范围．附加题19．不等式的解集为，关于的不等式的解集为．（1）当时，用列举法表示；（2）若集合中有2021个元素，求实数的取值范围．20．（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件；（2）求函数的最小值．

2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（满分40分，每小题4分）1．（4分）设全集，集合，则，．解：根据已知条件可得：，．故答案为：，．2．（4分）在中，的取值范围是．解：要使得有意义，则，且，解得．故答案为：．3．（4分）将化成有理数指数幂的形式．解：．故答案为：．4．（4分）已知集合，，若，则的取值构成的集合是．解：，，当时，，满足题意，当时，，要满足题意，只需或，解得或，综上所述：．故答案为：．5．（4分）已知，，用、表示．解：因为，所以，所以由换底公式得：，因为，而，所以，．故答案为：．6．（4分）已知集合，，，如果且，那么4或1或．解：①当时，，此时集合，5，，符合题意，②当时，或，若，集合，2，，符合题意，若，集合，0，，符合题意，综上所求，的值为4或1或，故答案为：4或1或．7．（4分）若直角三角形斜边长等于，则直角三角形面积的最大值为25．解：根据题意，设直角三角形的直角边为，，面积为，直角三角形斜边长等于，，则，当且仅当时，等号成立，故这个直角三角形的面积最大值为25．故答案为：25．8．（4分）若不等式的解集为，则实数的取值范围是，．解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为；（2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能．（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得；综上，的取值范围为，．故答案为：，．9．（4分）关于的不等式的解集是，则的解集是．解：等价于，因其解集为，故可得，且，，故可得，，则，即，等价于，解得．故答案为：．10．（4分）对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数，且，则的上确界为．解：因为，且，，，则，当且仅当时，即时取等号，故则的上确界为，故答案为：．二、选择题：（满分12分，每小题4分）11．（4分）下列表述错误的是A． B．， C．， D．若，则解：对于表示集合，没有任何元素．对；对于是任何空集合的子集，对；对于：表示点集，由与的交点构成的集合．不对；对于，中任何元素在中都有，则，对；故选：．12．（4分）对任意实数，，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②若，，则；③“”是“”的充分条件；④若，则；⑤若，，则．其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4解：对①：当时，由，显然无法得到，充分性不成立，故①是假命题；对②：取，，，满足，，但此时，不满足，故②是假命题；对③：取，，满足，但不满足，充分性不成立，取，，满足，但不满足，必要性不成立，故③是假命题；对④：是上的单调增函数，故当时，，故④是真命题；对⑤：，是上的单调增函数，故当时，，故⑤是真命题．综上所述，有2个真命题．故选：．13．（4分）已知集合为正整数，则的所有非空真子集的个数是A．30 B．31 C．510 D．511解：集合为正整数，故由于集合为正整数，所以，，0，1，，2，，3，，故集合的所有非空真子集的个数是．故选：．三、解答题：（满分0分）14．已知命题，命题．（1）求集合，；（2）若是的充分条件，求的取值范围．解：（1），故可得，解得，，故，；不等式可化为，，即且，解得，，故，．（2）若是的充分条件，则，故或，解得或，故的取值范围为：，．15．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．解：用反证法．假设与都大于或等于2，即，（4分），，故可化为，两式相加，得，与已知矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．（12分）16．解关于的不等式．解：当时，原不等式等价于，解得，故不等式解集为，当时，原不等式等价于，其对应二次方程的两根为，当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为．综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．17．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为（米单位时间），单位时间内用氧量为；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为．（1）将表示为的函数；（2）试确定下潜速度，使总的用氧量最少．解：（1）①下潜时，平均速度为（米单位时间），单位时间内用氧量为；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为．（8分）（2）（12分）当且仅当即时取等号答：当下潜速度为时，总用氧量最少．（16分）18．（1）已知，若恒成立，求实数的取值范围．（2）已知集合，，且，求实数，的取值范围．解：（1）因为，故可得，当且仅当，即时取得最小值4；根据题意，恒成立，即恒成立，又，当且仅当时取得等号，要满足题意，只需即可，解得，又，故的取值范围为：．（2）不等式等价于，解得或，即，又因为，故可得3为方程的一根，且其另一个根的范围是，令，则（3），且，即，且，解得，．故，的取值范围分别为，．附加题19．不等式的解集为，关于的不等式的解集为．（1）当时，用列举法表示；（2）若集合中有2021个元素，求实数的取值范围．解：（1），即，解得或，故或，当时，不等式等价于，即，解得，故，则或，故，；（