2022年福建省厦门市杏南中学高三数学理上学期摸底试题含解析

2022年福建省厦门市杏南中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45° B．30° C．15° D．60°参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），∵K（﹣，0），∴kKM=1，∴∠MKF=45°，故选A．2.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A3.“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+?）的图象重合”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+?）的图象重合”时，可取，k∈Z即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+?）的图象重合”的充分不必要条件．故选A【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．4.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为

（

）

A．

B．1

C．

D．参考答案：C5.在一个圆锥内有一个半径为R的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为，则R=（

）A.1 B. C.2 D.参考答案：B【分析】画出三视图及正视图，设圆锥的底面半径为，高为,得，进一步得圆锥体积，求导求最值即可求解【详解】几何体如图一所示：其正视图如图二所示设圆锥的底面圆心为O,半径为，高为,则OA=,又圆锥体积令，则当，故在单调递增，在单调递减，故在取得最小值，此时故选：B【点睛】本题考查球的组合体问题，考查利用导数求最值，考查空间想象和转化化归能力，是难题6.已知双曲线C：过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是（

）A．

B．C.

D．参考答案：C由双曲线：过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得：，解得：，∴双曲线的标准方程是故选：C

7.欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e﹣i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），结合三角函数的符号，即可得出结论．【解答】解：由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），∵cos（﹣1）＞0，sin（﹣1）＜0，∴e﹣i表示的复数在复平面中位于第四象限．故选D．【点评】本题考查欧拉公式，考查三角函数知识，比较基础．8.复数的虚部是（）A．B．C．D．参考答案：B

考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的代数形式的乘除运算，得到=+i，再由复数的概念能求出复数的虚部．解答：解：===+i，∴复数的虚部是．故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9.一个算法的程序框图如图，若该程序输出结果为6，则判断框内m的取值范围是(

) A．（12，20] B．（20，30] C．（30，42] D．（12，42]参考答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的k值判断运行的次数，从而求出输出的S值．解答： 解：由程序框图知第一次运行第一次运行S=2，i=2；第二次运行S=0+2+4，i=3；第三次运行S=0+2+4+6，i=4；第四次运行S=0+2+4+6+8，i=5；第五次运行S=0+2+4+6+8+10，i=6；∵输出i=6，∴程序运行了5次，此时S=0+2+4+6+8+10=30，∴m的取值范围为20＜m≤30．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键，属于基本知识的考查．10.已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（

）A．

B．

C．1

D．2参考答案：B由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为1cm的四棱锥，如图，【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是定义在区间上的奇函数，则_______．参考答案：略12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为

．参考答案：13.如图，圆O：内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为

．参考答案：14.己知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故答案为：点评：本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．15.双曲线：的左、右焦点，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为

．参考答案：10根据双曲线得根据双曲线的定义相加得由题意可知,当是双曲线通径时最小即有即有

16.已知数列满足（）且，则

．参考答案：201217.4100被9除所得的余数是.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，平面．．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．参考答案：19.(12分)在数列中，且（1）求c的值

（2）求的通项公式。参考答案：解析：(1)由.

2分因为所以

解得c=2

6分（2）。

10分把上面n-1个式子相加得

所以

12分20.设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B.（1）求集合A，B；

（2）若集合A，B满足,求实数a的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）A=,

==，

B.

（Ⅱ）∵，∴．∴或，∴实数a的取值范围是{a|或}．略21.(本小题满分12分）已知函数(1).求函数f(x)的单调区间及极值;(2).若x1≠x2满足f(x1)=f(x2),求证：x1＋x2＜0参考答案：（1）∵，∴当时，；当时，.则的增区间是，减区间是.所以在处取得极小值，无极大值.

………6分（2）∵且