上海民办立达中学(东部校区)高二数学理上学期期末试卷含解析

上海民办立达中学(东部校区)高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线x﹣y=3倾斜角的2倍，则（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】直线的倾斜角；直线的截距式方程．【分析】对于直线mx+ny+3=0，令x=0求出y的值，即为直线在y轴上的截距，根据截距为﹣3求出n的值，再由已知直线的斜率求出倾斜角，确定出所求直线的倾斜角，求出所求直线的斜率，即可求出m的值．【解答】解：对于直线mx+ny+3=0，令x=0，得到y=﹣，即﹣=﹣3，解得：n=1，∵x﹣y﹣3=0的斜率为60°，∴直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°，即斜率为﹣，∴﹣=﹣m=﹣，即m=．故选D2.设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2?bcos120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．3.已知集合，，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：B4.给出下列两个命题，命题p:是有理数。命题q:若a>0,b>0,则方程ax+by=1表示的曲线一定是椭圆，那么下列命题中真命题的是

（

）

A.p

B.

C.

D.参考答案：D略5.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（

）A

B

C

D

参考答案：A略6.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是(

)

参考答案：C7.设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围是（

）A．

B．(98,146)C．

D．(98,266)参考答案：B8.设，若，则（

）.

.

.

.参考答案：B略9.已知函数是偶函数，则的图象与y轴交点纵坐标的最小值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.过点M（﹣3，2），N（﹣2，3）的直线倾斜角是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线倾斜角为θ，θ∈[0，π）．利用斜率计算公式可得tanθ=1，即可得出．【解答】解：设直线倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ==1，∴θ=．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.，则＝________.参考答案：1

略12.满足,且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为

．参考答案：1413.在△ABC中，，则 .参考答案：14.命题“”的否定为

▲

．参考答案：，15.直线(a-1)x+(3a+2)y-5=0(a为实数)一定经过定点_________。参考答案：（-3，1）16.?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若?ABC的面积为，则角B=

,参考答案：17.直线与函数的图象有相异的三个公共点，则的取值范围是______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本大题15分）已知等比数列满足，且是的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项；（II）若，，求使成立的正整数n的最小值。参考答案：∵函数是单调增函数，且，，由③得n的最小值是5。

略19.（12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知，各局比赛结果相互独立，求出对应的概率值即可；（2）由题意知，随机变量X的所有可能的取值，根据事件的互斥性计算概率值，从而写出X的分布列．【解答】解：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件A1，“甲队以3：1胜利”为事件A2，“甲队以3：2胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P（A1）==，P（A2）=??（1﹣）?=，P（A3）=???=；所以甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为，以3：2胜利的概率为；（2）设“乙队以3：2胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P（A4）=???（1﹣）=；由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P（X=0）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=；又P（X=1）=P（A3）=，P（X=2）=P（A4）=，P（X=3）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=2）=，故X的分布列为X0123P【点评】本题考查了相互独立性事件的概率计算与分布列问题，是综合题．20.数列的前n项和为,存在常数A,B,C,使得对任意正整数n都成立.⑴若数列为等差数列,求证:3A-B+C=0;⑵若设数列的前n项和为,求;⑶若C=0,是首项为1的等差数列,设,求不超过P的最大整数的值.参考答案：⑴因为为等差数列,设公差为,由,得,即对任意正整数都成立.所以所以.

⑵因为,所以,当时,,所以,即,所以,而,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.

于是.所以①,,②由①②,得.所以.⑶因为是首项为的等差数列,由⑴知,公差,所以.而,

所以,所以,不超过的最大整数为.21.已知椭圆C：的离心率为，右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆于B、D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2．求证：k1k2为定值，并求此定值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，右顶点A（2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为，与椭圆联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明k1k2为定值，并能求出此定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：的离心率为，右顶点A（2，0），∴由题意得，解得∴椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为，与联立，得，△=9m2+7（m2+4）＞0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则…=．∴k1k2为定值，定值为…22.在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由茎叶图能求出甲班的平均分．（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，利用列举法能求出至少含有甲班一名同学的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分为：；（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c）