2022年四川省达州市开江县普江中学高三数学理摸底试卷含解析

2022年四川省达州市开江县普江中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数，则（

）A．5

B．

C．-3

D．参考答案：A2.已知命题：函数恒过（1,2）点；命题：若函数为偶函数，则的图像关于直线对称，则下列命题为真命题的是A.

B.

C.

D.参考答案：B函数恒过定点，所以命题错误；若函数为偶函数，所以有，关于直线对称，所以命题错误；所以为真，为真，选B.3.设，为两条不同直线为两个不同平面，则下列命题正确的是A．∥，∥，∥，则∥B．∥，⊥，⊥，则∥C．∥，∥，∥，则∥D．∥，⊥，∥，则∥参考答案：答案:B

解析：∥，⊥

∥.

4.如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．189 B．381 C．93 D．45参考答案：A【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足S＞30k，跳出循环，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环k=1，S=3；第二次循环k=2，S=2×3+3=9；第三次循环k=3，S=2×9+3=21；第四次循环k=4，S=2×21+3=45；第五次循环k=5，S=2×45+3=93；第六次循环k=6，S=2×93+3=189，满足S＞30k，跳出循环，输出S=189．故选：A．5.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，，则

的解集为（）A．(－∞,－2)∪(2,+∞) B．(－∞,－4)∪(4,+∞)

C．(－2,2)

D．(－4,4)参考答案：A6.某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费()A．1.00元

B．0.90元C．1.20元

D．0.80元参考答案：B7.若函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则为（

）A．

B．1

C．2

D．4参考答案：B略8.等比数列中，，函数，则（

）A．26

B．29

C.212

D．215参考答案：D9.椭圆的两个焦点分别是.若上的点满足,则椭圆的离心率e的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C10.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由于,所以输出,此时,因此应选B．考点：算法流程图的识读和理解．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，则cosα＝▲．参考答案：略12.四面体中，共顶点的三条棱两两相互垂直，且其长别分为1、、3，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的体积为

． 参考答案：13.若方程的解为，则不小于的最小整数是

.

参考答案：14.在的二项展开式中，常数项等于

.参考答案：180展开式的通项为。由得，所以常数项为。15.函数的图象如图所示，则的值等于

参考答案：由图知，，，所以周期，又，所以，所以，即，所以，所以，又，所以.16.已知实数，且，那么的最小值为________．参考答案：【知识点】基本不等式．E5【答案解析】﹣1

解析：由于ab=1，则又由a＜0，b＜0，则，故，当且仅当﹣a=﹣b即a=b=﹣1时，取“=”故答案为﹣1．【思路点拨】将整理得到，利用基本不等式即可求得的最大值．17.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,a=1,b=,B=60°,则c=

。参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于任意的n∈N*，若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质m”：①；

②存在实数M，使得an≤M成立．（1）数列{an}、{bn}中，an=n、（n=1，2，3，4，5），判断{an}、{bn}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{cn}的前n项和为Sn，且，，证明：数列{Sn}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{dn}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*）．参考答案：

考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；新定义；等差数列与等比数列．分析：（1）利用数列{an}具有“性质m”的条件对an=n、bn=2sin≤2（n=1，2，3，4，5）判断即可；（2）数列{cn}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将c3=代入S3=++c3=可求得q，从而可求得c1=1，cn=及Sn=2﹣，分析验证即可；（3）由于dn=3t﹣，可求得dn+1=3t﹣，dn+2=3t﹣，利用任意n∈[3，+∞]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，由dn+dn+2＜2dn+1可求得t＞1，可判断n≥3时，数列{dn}是单调递增数列，且=（3t﹣）=3t，从而可求得t≤3，于是有1＜t≤3，经检验t=2不合题意，于是得到答案．解答：解：（1）在数列{an}中，取n=1，则=2=a2，不满足条件①，所以数列{an}不具有“m性质”；…（2分）在数列{bn}中，b1=1，b2=，b3=2，b4=，b5=1，则b1+b3=3＜2=2b2，b2+b4=2＜4=2b3，b3+b5=3＜2=2b4，所以满足条件①；bn=2sin≤2（n=1，2，3，4，5）满足条件②，所以数列{bn}具有“性质m”．…（4分）（2）因为数列{cn}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将c3=代入S3=++c3=得，6q2﹣q﹣1=0，解得q=或q=﹣（舍去），…（6分）所以c1=1，cn=，Sn=2﹣…（7分）对于任意的n∈N*，=2﹣﹣＜2﹣=Sn+1，且Sn＜2…（8分）所以数列数列{Sn}具有“m性质”…（9分）且M≥2．…（10分）（3）由于dn=3t﹣，则dn+1=3t﹣，dn+2=3t﹣，由于任意n∈[3，+∞]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，所以dn+dn+2＜2dn+1即+＞2×，化简得，t（n﹣2）＞1…（12分）即t＞对于任意n∈[3，+∞）且n∈N*恒成立，所以t＞1…①…（14分）dn+1﹣dn=﹣=由于n≥3及①，所以dn+1＞dn即n≥3时，数列{dn}是单调递增数列，且=（3t﹣）=3t…（16分）只需3t≤9，解得t≤3…②…（17分）由①②得1＜t≤3，所以满足条件的整数t的值为2和3．经检验t=2不合题意，舍去，满足条件的整数只有t=3…（18分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查理解新概念与分析运算能力，考查函数的单调性，考查创新思维与综合运算能力，属于难题．19.（本小题满分12分）已知函数．(1）若在上恒成立，求m取值范围；(2）证明：（）．（注：）参考答案：令在上恒成立(1)当时，即时

在恒成立．在其上递减．原式成立．当即0<m<1时不能恒成立．综上： ………………6分(2)由(1)取m=1有lnx令x=n化简证得原不等式成立．

…………12分20.设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点.（1）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（2）设p=2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足，求点G的轨迹方程.参考答案：（1）最大值为；（2）【分析】（1）求得A的坐标，设出过A的直线为y＝k（x），k＝tanα，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A是点关于顶点O的对称点，可得，设过A的直线为，，联立抛物线方程可得，由直线和抛物线相切可得，解得，可取，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得，而的最小值为45°，的最大值为；（2）由，可得，设，，，，，设，联立抛物线，可得，即有，，由两直线垂直的条件，可将k换为，可得，，点G满足，可得，即为，，可得，则G的轨迹方程为.【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．21.已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l，若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．参考答案：【考点】扇形面积公式；基本不等式．【专题】综合题；方程思想；演绎法；三角函数的求值．【分析】利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小．【解答】解：根据题意知l+2r=20即l=20﹣2r…（3分）∵，∴…（4分）∴当r=5时smax=25，又∵l=2r，∴10=α×5即α=2…（11分）∴扇形的面积的最大值是25，此时扇形圆心角的弧度数为2…（13分）【点评】本题主要考查了扇形的周长，半径圆心角