压轴题03线段最值问题（原卷版）

线段最值问题题型解读：线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费马点”问题；④点到直线的距离最值问题等.右图为线段最值问题中各题型的考查热度.题型1：垂线段最短问题解题模板：垂线段最短模型：1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A． B． C．3 D．4【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（）A． B．4 C．5 D．10【变式1-2】（2021•临淄区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2 B．3 C． D．题型2：将军饮马问题解题模板：技巧精讲：1、“将军饮马”模型2、线段差最大值问题模型：2.（2021•娄底模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则AP+EP的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【变式2-1】（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）A． B． C． D．【变式2-2】（2022•菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1 B． C． D．2【变式2-3】（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B． C． D．【变式2-4】（2022•泰山区校级二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB的中点．若OB＝4，则阴影部分的面积为．题型3：旋转最值问题解题模板：技巧精讲：旋转求最值模型：3.问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．【变式3-1】（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．【变式3-2】（2022春•周村区期末）如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC＝60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的长．（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图②．①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．一、填空题1．（罗平期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为.2．（2022·安顺）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若S△DCGS△FCE3．（2022·南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重给），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C给出下列四个结论；①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB=45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为2；④当∠ADE=30°时，△A1BE的面积为起3-36，其中正确的结论是二、综合题4．（大埔期末）已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为：．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE＝CF；（3）求△AEF周长的最小值．5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．（金华月考）如图1，在直线l上找一点C，使AC+BC最短，并在图中标出点C【简单应用】（1）如图2，在等边△ABC中，AB＝10，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝140°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．