导数中的同构问题【八大题型】解析版-2025年新高考数学一轮复习

导数中的同构问题专练【八大题型】

►题型归纳

【题型1同构：利用於)与苫构造函数1.......................................................................................2

【题型2同构：利用作)与6"构造函数1......................................................................................5

【题型3同构：利用/(x)与sinx,cosx构造函数】.................................................7

【题型4指对同构问题】.......................................................................9

【题型5利用同构比较大小】..................................................................13

【题型6利用同构解决不等式恒成立问题】.....................................................15

【题型7利用同构证明不等式】................................................................19

【题型8与零点有关的同构问题】.............................................................25

►命题规律

1、导数中的同构问题

导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出

现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、

解不等式、恒成立等问题，难度较大.

►方法技巧总结

【知识点1导数中的同构问题的解题策略】

1.导数中的同构问题是通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、

恒成立等问题，主要有以下几种类型：

(1)利用作)与乂构造函数

①出现喷x)+VG)形式，构造函数F(x)=x%>

②出现^(x)-研X)形式，构造函数尸(x)=.

(2)利用作)与d构造函数.

(3)利用/(x)与sinx,cosx构造函数.

2.同构式的应用

⑴在方程中的应用：如果方程八。)=0和必尸0呈现同构特征，则。力可视为方程兀r)=0的两个根.

(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而

利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.

【知识点2指对同构问题】

1.指对同构解决不等式问题

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单

调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的

速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.

(1)五个常见变形：

xe，=ex+lnx,y==e111*-*,x+Inx=ln(xe*),x—Inx=In?.

(2)三种基本模式:

三种同构方式

二种同构方式,

①积型:aea^blnb

同左：aeaW(lnb)elnb……f{x)=xex,

<同右：exlnea^blnb.../(x)=x\nx,

I取对：a+Ina&Inb+In(In/?).../(x)=x+Inx.

/->»卸e。7b三种同构方式

②商型："《前---------》

’0ax

同左：幺《片……/«=—,

aIn6八x

<同右：益&七……〃幻=1^'

取对：a—InaW\nb—In(Inb)...f(x)=x—Inx.

两种同构方式

③和差型：ea±a^b±\nb-------------->

(同左：ea±a>eXnb±\nb……/(x)=e%±x,

I同右：ex±Ine">Z)±In6.../(x)=x±Inx.

►举一反三

【题型1同构：利用於)与*构造函数】

【例1】(2024•全国•模拟预测)已知"%)是定义在R上的偶函数，且/(2)=0,当X>0时，xf

(%)-/(%)>0,则不等式%/(%)>0的解集是()

A.(—8,—2)U(2)+8)B.(—2,2)

C.(—8,—2)U(0,2)D.(—2,0)U(2,+8)

【解题思路】构造函数，令9(久)=号，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可

【解答过程】解：由题意，令g(x)=号，

•••x>0时，g'(x)=>o

•••g(x)在(0,+8)递增,

1',/(-=/(%)，

•••5(-x)=一9(%),

g(x)在(一8,0)递增，

・•.g(x)是奇函数，g(2)=等=0,

•e.0<%<2时，g(x)<0,%>2时，g(%)>0,

根据函数的奇偶性，一2cxV0时，g(%)>0,%V—2时，g(%)V0,

x/(x)>0,即％2g(%)>0,即g(%)>0,

・,•—2<%<。或无>2,

故选：D.

【变式1-1](2024•安徽•一模)已知/(x)是定义在R上的偶函数，且/(2)=1,当x>0时，xf(x)+f

(x)>1,则不等式△岁<0的解集为()

A.(-00,2)U(2,+oo)B.(-oo,2)U(0,2)

C.(-2,0)U(2,+oo)D.(-2,0)U(0,2)

【解题思路】设F(x)=(x)—l]由奇偶性的定义可判断该函数的奇偶性，结合导数即可求出函数的单调

性，从而可求出不等式的解集.

【解答过程】解：设F(x)=肛〃》—1],则k(x)=「(x)x+/(x)—1>0,

即F(x)在(0,+oo)上单调递增，因为/'(尤)在R上为偶函数，即f(一x)=f(x)，

则/(_2)T=f(2)T=0,F(-2)=F(2)=0,由F(—x)=一打/(—x)_1]=-F(x),

得F(x)在R上为奇函数，所以F(x)在R上单调递增，与」<。等价于｛尸高£,

当%>0时，FQ)=x[/(x)-1]<0=F(2),则0<x<2；

当x<0时，F(x)=x[f(x)-1]<0=F(-2),则x<—2；

综上所述，区受<0的解集为(—8,—2)U(0,2),

故选:B.

【变式1-2](23-24高二下•天津南开•期中)已知f(x)是定义在(一8,0)0(0,+8)上的奇函数，若对于任意

12

的xe(0,+8),都有2/0)+刀/(乂)>o成立，且「(2)=5，则不等式/(X)—哀>0解集为()

A.(2,+oo)B.(-2,0)U(0,2)

C.(0,2)D.(-2,0)U(2,+oo)

【解题思路】令9(%)=%2/(x),首先判断g(x)的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的

单调性解函数不等式.

【解答过程】令g(X)=x2/(x)1%e(-oo,o)u(0,+oo),

因为f(x)是定义在(一8,0)u(0,+8)上的奇函数，即/(f)=-/(%),

•1•g(-%)=(-X)2/(-X)=-X2f(x)=-g(x),二g(x)=%2/■(%)是奇函数：

又当x>。时，g(x)=2xf(x)+x2f'(x)=%[2/(%)+%/;(%)]>0,

gQ)在(0,+8)上单调递增，g(x)在(一8,0)上单调递增；

-1

又f(2)=5，••・9⑵=22/⑵=2,

2

对于不等式/(%)—巨>0，又％€(—8,0)u(0,+8),所以%2W(0,+8),

所以不等式《)一套〉0等价于炉/⑺-2>0,即//㈤>2,即g(x)>g(2),

所以x>2,即不等式/(%)—m>0解集为(2,+8).

故选：A.

【变式1-31⑵-24高二下•湖北武汉•期中)/(%)是定义在R上的奇函数，当x>0时，有x广(%)+2/(尤)>0

恒成立，贝U()

A./(I)>4/(2)B./(-1)<4/(-2)

C.4/(2)<9/(3)D.4/(-2)<9/(-3)

【解题思路】令g(x)=x2/(x).求导，根据xr(x)+2/(x)>0,得到9(久)=/f(x)在(0,+8)上递增，再根

据/(x)是定义在R上的奇函数，得到9(%)在(-8,0)上的单调递增求解.

【解答过程】解：令g。)=x2f(x),

则0(%)=x[xf@)+2f(x)],

因为无广(x)+2/0)>0,

所以g'(x)>o,

则9。)=在(0,+8)上递增,

又y=/是偶函数，且/'(x)是定义在R上的奇函数，

所以g(x)=K2y(X)是定义在R上的奇函数，

则g(x)在(—8,0)上单调递增，

所以g(2)>g(i)，即4/(2)>/(1),故A错误；

g(—l)>g(—2),即/(—1)>4/(—2),故B错误；

9(3)>g(2),即9/(3)>4/(2),故C正确；

9(—2)>g(—3),即4/(一2)>9/(-3),故错误,

故选：C.

【题型2同构：利用"r)与片构造函数】

【例2】(2024•湖北武汉•一模)若函数fQ)的定义域为R,满足f(0)=2,VxGT?,都有/Q)+尸(%)>1,

则关于久的不等式/(K)>+1的解集为()

A.{x\x>0}B.{x\x>e}C.{x\x<0}D.{x|0<x<e}

【解题思路】依题意可得修/。)>^+1,构造函数尸(x)=e»(W—e，，利用导数说明函数的单调性，结合

单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得解.

x

【解答过程】不等式/(X)>ef+loeV(x)>e+l,

依题意令F(x)=exf(x)-ex,

"f(%)+f'(x}>1,f(x)+f'(x)—1>0,

F(x)=ez/(x)+ez/"(x)—ex=ex[/(x)+f'(x]—1]>0,

•••函数F(x)在R上是增函数，又/(0)=/(0)-1=1,

二不等式9/(%)>M+1,即ex/(x)—ex>1,即F(x)>F(O),由函数单调性可知x>0,

所以不等式/(x)>e-x+1的解集为{x|x>0].

故选：A.

【变式2-1](2024•全国•模拟预测)已知f(久)是可导的函数，且((幻<f(x)对于xeR恒成立，则下列不等

式关系正确的是()

A./(I)>e/(0),/(2023)<e2023/(0)B./(I)<e/(0),/(I)>e2/(-1)

C./(I)<e/(0),/(I)<e2/(-1)D./(I)<e/(0),/(2023)>e2023/(0)

【解题思路】构造。(%)=等，求导得到其单调性，从而比较出大小关系，得到正确答案.

【解答过程】A选项，设9(%)=祟，则g'(x)=尸⑸?。)，

，

■■f'(x)<f(x),.•.(g(x)<0,即g(x)在R上单调递减，

•••g⑴<g(0),即?<甥，即/(I)<e/(O),故选项A不正确;

D选项，g(2023)<g(0),即/辔<噜2,BP/(2023)<e2023/(0),故选项D不正确；

B选项，9(1)<9(—1),即号<等，即/(l)<e2/(-1),故选B不正确.

综上：C选项正确.

故选：C.

【变式2-2](23-24高二下•江苏南京•期中)已知函数fCc)及其导函数r(x)定义域均为R,且f(X)—尸(口

>0,f(0)=e,则关于x的不等式f(x)>e，+i的解集为()

A.{x\x>0}B.{x\x<0}C.{x\x<e}D.{x\x>e]

【解题思路】设g(x)=等，求导确定函数g(x)的单调性，再由已知得g(0)=e,则不等式可转化为g(x)>g

(0),即可得解集.

【解答过程】设9(%)=券，则g'(x)=⑸<0,所以g(x)在R上单调递减，

又9(0)=等=e，原不等式/'(%)>e%+i可化为e*g(x)>ex+1,即g(x)>e=g(0),

所以x<0,即不等式/(x)>e*+i的解集为{x|x<0}.

故选：B.

【变式2-3](23-24高二下•河南驻马店•期末)已知定义在R上的偶函数/(X)满足：

)+/(-%-1)=0,e4/(2022)=l,若/(久)>f'(—x),则关于x的不等式/(%+2)>2的解集为()

A.(4,+oo)B.(-co,4)C.(-co,3)D.(3,+00)

【解题思路】根据定义在R上的偶函数/■(>)满足/'(x-l)+/(-%-1)=0可得/■(%)的周期，构造函数g(x)

=e7(x),再将/(X+2)>《转化为关于9(%)的不等式，根据/(x)>r(-x)得到g(W的单调性再求解即可

【解答过程】因为定义在R上的偶函数/(x)满足/(x—g)+/(—x—1)=0,

故，(%-》+/(“+D=3

故/(%+1-1)+/(%+2+1)=°，BP/(x+1)+/(%+|)=0,

所以f(x—9=f(x+|),即f(x)的周期为3.

又e4f(2022)=1,故e6f(3x672+6)=e?,即e6f⑹=e2.

因为f(x)>f(-x)=-/'(%),即f(x)+f(x)>0,

故构造函数g(x)=则g，(x)=eX|/(x)+r(x)]>0,且g(6)=e6/(6)=e?.

综上有g(x)=eXf(x)在R上单调递增,且g(6)=e2.

又f(x+2)>上即写等>白，g(x+2)〉e2=g(6),所以x+2>6,解得久>4

故选：A.

【题型3同构：不！J用Hx)与sinx,cosx构造函数】

【例3】(2023•重庆九龙坡・二模)已知偶函数/(*)的定义域为(冶3)，其导函数为尸Q),当时,

有r(x)cos久+fQ)sinx>0成立，则关于x的不等式/'(x)>2f仁)•cosx的解集为()

【解题思路】构造函数9(%)=黑。<%<p利用导数讨论单调性，结合函数的偶函数性质解抽象不等式.

【解答过程】构造函数gQ)=段,0<x<p

,、_r(%)cosK-f(X)(cosEr_尸QQcosK+/O)sin%n

9')cos2%COS2X'

所以函数9(久)=震在陪)单调递增，

因为函数f(x)为偶函数，所以函数。(%)=震也为偶函数，

且函数9(久)=照在[。4)单调递增，所以函数g(x)=震在(冶,0)单调递减，

因为无€(—,。所以cosx>0,

关于X的不等式/(X)>2/(升COSX可变为震>乌，也即g(x)>渥)，

所以g(l%l)>g(»则[解得]vx<1或_]<x<-p

故选:C.

【变式3-1](2023•全国•模拟预测)已知定义在(—,3上的函数/(%)满足/(—%)=/(%)，当％c(o,y时,

不等式/(%)sin%+，Q)cos%V0恒成立(((%)为/(%)的导函数)，若acosl=/(—1),bcos|=/(—InVe),

0=2©则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解题思路】构造函数G(x)=祟，分析函数G(x)的奇偶性及其在(0弓)上的单调性，可得出a=G(l),

b=G&),c=G(g,结合函数G(x)在(0,()上的单调性可得出a、b、c的大小关系.

【解答过程】由题意得函数f(x)为偶函数，构造函数G(K)=瞿，

所以(/(%))'=/QQcosx+fQQsin%

I)Vcos%/COS2X

易知当工«0,勺时，G口)V0,所以函数GQ)在(0q)上单调递减.

因为acosl=/(_1)=/(I),则a=W=G(l),

由bcos,=/(—InVe)=~=/(?，则b==G©,

且c=2f©=%=G©

因为函数6(切在(01)上单调递减，且0<：<1<X?

所以G@)>G(l)>G(p,即b>a>c,

故选：C.

【变式3-2](23-24高二上•重庆沙坪坝•期末)已知r(x)是函数f(x)的导函数，/(%)-/(-%)=0,且对于

任意的久€(0,勺有尸(x)cosx>/(-x)sin(—比).则下列不等式一定成立的是()

A,中(-3</(7)叫

B.O制4

C.f(-1)<V2/Qcosl

D-算⑵”(Y)

【解题思路】设9。)=托，%e(0,5,根据已知条件，利用导数得到g(x)为增函数，由g(3<g瑜可推出

COSX乙乙。

A正确；由g《)<9(》可推出B不正确；由g(3<g(l)可推出C不正确；由g(》〈g(5可推出D不正确.

【解答过程】因为对于任意的xe(0弓)有r(%)cos久>f(—%)sin(-x).又/'(%)—/(—久)=0,—sinx=sin

(—x),

所以尸(%)cos%+/(x)sinx>0,

设g(%)=震，*e(o,》,则g3_/,(x)cosx—/(x)(—sinx)_r(X)cosc+f(F)sirEr

COS2%cos2%

因为当qW(03时,//(x)cosx+/(x)sinx>0,所以>0,

所以g(%)在(0")上为增函数，

因为所以例)<遍)，所以名<紧，所以毋。(偌(c尾，所以受(_?</(_拉(4故A

26

正确；

因为标也所以9管)<*)，所以熊<名，所以出◎(守玲，所以何(Y)〈何(一》故B不

64

正确；

因为:<1，所以9()<9(1)，所以熊〈得，所以coslf6)<,(l),所以鱼cosl/(》</(—1),故C

4

不正确；

因为H，所以*)<熙)，所以,(墨，所以》(》<,(今，所以身(》</(—)故D不正确；

故选：A.

【变式3-3](2024•河南信阳•一模)已知函数y=/(%)对％€(0,兀)均满足r(%)sin%-/(%)cos%=5—1,其

中广(%)是/(%)的导数，则下列不等式恒成立的是()

卜,何。〈砥B./©<?/©

C府)〈信)D.争⑵</停)

【解题思路】根据给定的等式，构造函数并探讨其单调性，再逐项计算判断作答.

【解答过程】xe(o,兀)，令g(x)=祟，求导得：。口)=3称爹迎”呆，

当％W(0,1)时夕(%)>0,当久W(1,71)时夕(%)V0,因此函数9(%)在(0,1)上单调递增，在(1,兀)上单调递减,

对于A,0<J<^<1,贝即何(3</g),A正确；

对于B,1<泻<兀,则g(D，即府)>毋(。B错误；

对于C,14<曰<兀，则g(?>g(5),即虑)>f停)，C错误;

对于D,1<5<夸<兀，则雁)>g停)，即李府)>/•(勃D错误.

故选：A.

【题型4指对同构问题】

【例4】(2024•陕西安康•模拟预测)若存在x6(0,+oo),使得不等式a?/+%2e。/+而久成立，则实数a

的取值范围为()

A-L+8)B.匕,+8)C.D.(一8,』

【解题思路】将原不等式变形为不%2)2—eax2>(In第下—elnx,令f(%)=%2—ex,则/(a/)>/(In%),然后

利用导数判断出f(%)在R上递减，所以将问题转化为a/<In%在久E(0,+8)上有解，即a<詈在％G(0,+oo)

上有解，再构造函数九(%)=野。>0),利用导数求出其小大值即可.

【解答过程】由+%之e。*+[/%,得(a%2)2—e"2n

22lnx

所以(a%2)2—eax>(inx)—e,

令f(%)=x2—ex,则(a/)2—eax2>(In%)2—e111%可化为f(a%2)>/([口%),

f'(x)=2x—ex,令=尸(%)=2%—ex,则

g'(X)=2—ex,令g'(%)=2—ex=0,得%=ln2,

当％Vln2时,>0,当％>ln2时,g'(%)V0,

所以/'(%)在(一8,ln2)上递增，在(ln2,+8)上递减，

所以广。)<f(ln2)=21n2—2<0,

所以/(%)在R上递减,

所以a/<]n%在久e(0,+8)上有解，

所以Q<臀在％E(。，+8)上有解，

令h(x)=—(x>0),贝怩⑺=—>0),

由"(x)>0,得1—21nx>0,得0<x<正，

由//(%)<0,得1—21nx<0,得x>正，

所以八(久)在(0,4司上递增，在(、6+8)上递减，

所以八(x)max==(，

所以a<,，

故选：D.

【变式4-1](2024•广东深圳•模拟预测)已知函数/(%)=此％+1偌-2,若恒成立，则正实数a

的取值范围是()

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

【解题思路】不等式整理为个+Ina)+e%+】na+>ln(x+2)4-*(计2),构造函数g(%)=%+ex,利用单调性

得到Ina>ln(%+2)—%,再构造k(%)=ln(%+2)—%,进而得到Ina>k(%)max=再从而Q>e.

【解答过程】/(x)=aex2>0,ex+lna+Ina>ln(x+2)+2,且a>0,

两边加上%得,ex+lna+(%+Ina)>ln(x+2)+(%+2)=ln(x+2)+eln<x+2),

设gQ)=汽+e"则=1+ex>0,所以g(%)单调递增，

・••x+Ina>In(%+2),即Ina>ln(x+2)—x,

[1

令k(x)=ln(x+2)-x,则A(x)=7^-1=-/,

•."(%)的定义域是(-2,+oo),

.•.当xe(―2,—1)时，k'{x)>0,k(x)单调递增，当xe(—1,+8)时，k'(x)<0,kQ)单调递减，

.,.当％=-1时，k(x)取得极大值即为最大值，k(x)max=fc(—1)=1,

・•・Ina>fc(%)max=1，・•・a〉e.

故选：C.

【变式4-2](2024•江西赣州•二模)已知函数/(%)=e"+1,g(%)=(1若之g(%),则左的

取值范围为()

A.(0,e]B.[e,+8)C.卜+8)D.(0,1]

kx

【解题思路】根据己知条件，有Ine^x-(e+1)>(1+%)lnx(%>0),构造函数h(x)=(1+x)lnx

(x>0),将问题转化为为世机》)？〃")Q>0),对函数求导，通过函数的单调性求出函数的最值从而求解.

【解答过程】因为/'(%)=ekx+1,所以kf(x)=fc(ekx+1),

由kf(x)>g")得k(e-+1)>(H-I)lnx(x>0),

gp/cx(ete+1)>(1+x)lnx(x>0),

即Ine^•e+i)>(i+x)lnx(x>0),

构造函数h(%)=(1+x)lnx(x>0),

Ine丘•(efcx+1)>(1+x)lnx(%>0)可化为/i(e以)>h(x)(%>0),

因为"(X)=In%+[+l(%>0),令t(%)=In%+[+l(%>0),

11V_1

则=或一彰=丁(%>0),令«%)=0,解得x=L

所以xe(o,i)时，火乃<0,t(x)在(0,1)上单调递减,

所以X6(1,+8)时，t,(x)>0,t(x)在(1,+8)上单调递增，

所以X=1时，t(x)取得最小值，spt(x)min=t(l)=2>0,

所以t(x)>。在xe(0,+8)上恒成立，即〃(无)>。在x6(0,+8)上恒成立，

所以八(久)在xG(0,+8)上单调递增，

因为无心丘)2Mx)(x>0),

所以e&x>x(X>0),kx>Inx(%>0),fc>(%>0),

令m(x)=¥(x>0),则加(x)=(x>0).

令m'(x)=0,即1—lnx=0,解得x=e,

所以4e(0,e)时,m'(x)>0,m(x)在(0,e)上单调递增,

%e(e,+8)时，?n"(x)<0,m(x)在(0,e)上单调递减,

所以x=e时，zn(x)取得最大值，即6(x)max=^(e)=：,

所以所以kN：.

故选：C.

【变式4-31(2024•甘肃兰州•二模)若关于x的不等式e，+%+21*>mx2+Ina恒成立，则实数m的最大

值为()

A.1B.yC.fD.e2

【解题思路】对所给不等式适当变形，利用同构思想得出InmWx—21mc对于任意x>0恒成立，进一步构

造函数9(x)利用导数分析最值即可求出结果.

【解答过程】由题意可得%>0,m>0,

ex+x+21n1>mx2+Imn恒成立等价于e*4-x>mx2+Inm-21n：=ein(m')+]n(m/)恒成立，

令/'(%)=ex+x,x>0,

则尸(%)=ex+l>0恒成立，

所以f(x)在定义域内严格单调递增，

所以若有/(%)>/(皿加/))成立，则必有%>ln(mx2)=Inm+21nx恒成立，

即Inzn<%—21n%对于任意%>0恒成立，

令g(%)=X—2\nx,x>0,

则g'O)=i--=—

令9'(久)=0=>x=2,

所以当0<x<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>2时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)min=g(2)=2—21n2=Inp

从而Inm<1卡，所以?n的取值范围为nt<9，即实数m的最大值为9，

故选：B.

【题型5利用同构比较大小】

【例5】(2024•湖南益阳•三模)若a=21n(l,b=0.21,c=tan0.21,则()

A.b<c<aB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

【解题思路】首先通过构造函数得到当。V%<]时，tanx>%,再通过构造函数/O)=x-ln(l+%),0<%<

5进一步得到x>ln(l+x),%e[o，I，可比较大小.

【解答过程】根据题意，a=21nl,l=lnl.12=ln(l+0.21),

设九(%)=tanx—x,0<x<^,

=c°s-：sinx)sinx_]=3_1><尤<三

kJcos2%cos2x2

所以h(%)=tan%—%在(05)上单调递增，

所以九(汽)=tanx—x>g(0)=0,即tan%>x,0<%<p

令/(%)=x-ln(l+%),0<x<^,则/(久)=1一书=充>。，

所以/(%)=%—ln(l+%)在(0弓)上单调递增，

从而/(')=%—ln(l+%)>f(0)=0,即％+

所以tan%>%>ln(l+%),%£(05)，

从而当％=0.21时，c=tan0,21>0,21>a=lnl.21.

故选：D.

【变式5-1](2024•陕西安康•模拟预测)若0V%iV%2<1，则()

X2X1X1

A.e+ln%i>e+lnx2B.e久2+In%!<e+lnx2

X1X2X12

C.x2e>x^eD.x2e<x^

【解题思路】根据选项构造两个函数f(x)=e=Inx,g⑺=三,再利用导数思想，来研究在(0,1)上是否是

单调函数，即可作出选项判断.

111

【解答过程】令/(%)=ex-Inx,则((%)=ex-令九(%)=ex-则"(%)=ex+—>。恒成立，

即—(%)=心一：在定义域(0,+8)上单调递增，且尸0=ee-e<0/(1)=e-1>0,

因此在区间G，l)上必然存在唯一久0,使得「(尤0)=0,

所以当xe(o,a)时f(x)单调递减，当xe(xo，l)时了(%)单调递增，故a,B均错误；

令9(%)=亍，g'(x)=e『)，当0<%<1时,g'(x)<0,

•••9(久)在区间(0,1)上为减函数，

QX1QX2_

0<%!<X2<1/**•—>—，即%2《1>%1口2,/.选项C正确，D不正确.

故选：C.

【变式5-2](2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)设a=lnl.01,b=sinO.Ol,c=+，则a,b,c大小关系

()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

x

【解题思路】通过证明ln(l+%)>芾％G(0,1)确定见C的大小关系；通过证明sin%>ln(l+%)确定a力的大

小关系.

【解答过程】令/(%)=ln(l+%)—捻,%E(。,1)，

•・,/'(%)=吉一君^=言^>°，所以/(%)在(0,1)上单调递增，

所以/(%)>/(0)=0,即ln(l+%)>W，xG(0,1),

.-.ln(l+0.01)=所以a>a

令9(%)=sin%-ln(l+%),%G(0,1),

g'(.x)=cosx-4-/i(x)=g'(x)=cos%--,xe(0,1),

12

h'(x)=-sinx+^^j,令丫=〃(%),则y'=-cosx—^^<0,

所以“(%)在％E(0,1)上单调递减，/ir(0)=1>0,"(1)=—sinl+[V—sin]+[=—[V0,

所以存在唯一孙W(0,1),使得“(配)=0,即当％^(。，配)时，h'(x)>0,当％£(%o,l)时，”(%)<0,

即九(%)在(0,久o)上单调递增，在(%o，l)上单调递减，所以仅%)的最小值为h(0),h(l)中一个，而h(0)=0,

/i(l)=cosl—|>cos^—1=0,所以h(%)>h(0)=0,即)(%)>0,

所以g(%)在(0,1)上单调递增，所以g(%)>g(0)=0,

即sin%>ln(l+%),xe(0,1),

所以sinO.Ol>lnl.01,即b>a.

所以力>a>c.

故选：B.

Xix2X3-1

【变式5-3](2024•安徽•三模)已知实数万1，乂2/3满足二五=e^—l=不高7=而，则()

A.%1V%2<%3B.%1V%3Vx2

x

C.X2<x3<X1D.%2<%1V3

【解题思路】求出乂1,%2,%3，构造函数/'(x)=%2—1-21nx,利用导数研究单调性，比较出％3>%2，构造函

数g(x)=Inx—(1—9，比较出％2>%1，即可求解.

【解答过程】依题意=G2=Jl+%3=1Q5,则久I=2(1—=21nl.05,X3=1.052—L

令/(x)=%2—1—21nx,故,(X)=2(x-?(x+i)

故当X>1时，ro)>0/00在(I,+8)上单调递增，

故/'(1.05)>0,则%3>%2.令g(x)=lnx_(!._：),

则g'(©=詈，故当%>1时，>。应(久)在(1,+8)上单调递增，

则9(1.05)>。则#2>为.

综上所述：右>尤2>久「

故选：A.

【题型6利用同构解决不等式恒成立问题】

【例6】(2024•内蒙古・三模)已知函数/'(%)=必—a%+21nx.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若a>0/(%)<e。'恒成立，求a的取值范围.

［解题思路］(1)求导得r(X)=2，?+2,分类讨论可求单调区间；

(2)由已知可得*久2+in%2<eax+ax,令g(%)=ex+x,可得g(ln/)<g(ax),进而由g(%)单调性可得

等wf,求得函数等的最大值即可.

【解答过程】(1)/(%)的定义域为(0,+8)/(x)=2x—a+1=2’丁2,

关于％的方程2/—ax+2=0,A=a2—16,

当一4<aW4时，A<0,((%)20,所以/"(%)在(0,+8)上单调递增.

当a<-4时，A>0,此时产1+"2二5:。=打<0,%2<0,

f,(x}>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增.

当a>4时，则xi=仁岑三02=小严是方程2——ax+2=0的两根.

又K1%2=1，%1+工2=£>0,所以0VV%2，

令尸Q)>0,解得x<心竽道或X>史亨迈，

令广(久)<0,解得a7：T6<x<a+V：-也,

所以f(x)在(0,伫喑目和(电浮迈,+8)上单调递增，在(巴亨道，生乎逅)上单调递减.

(2)由/(X)<eax,可得/+21nx<eax+ax,即eL+In%2<eax+ax.

令g(x)=ex+x,易知g(x)单调递增.

由ein/+)nx2<eax+的可得gQn/)<g(ax),则In/<ax,即号<

设h(x)=?，则％'(x)=当x>e时，h'(x)<0,/i(x)单调递减，

当0<X<e时，"(X)>0,无(X)单调递增，所以八(X)max=詈=3

所以羟3则a的取值范围为［|,+8).

【变式6-1］(2024・广西贵港•模拟预测)已知函数f(x)=aeax_mx+:a+i.

(l)当a=1时，请判断f(x)的极值点的个数并说明理由；

(2)若/(%)>2a2-a恒成立，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)先求f'(x),得(0)=胃警，再设八(%)=+In久，通过对〃(久)符号的分析，得到

r(x)的单调性，再判断r(x)=0的解的情况，分析函数了(久)的极值点的情况.

(2)先把原不等式化成axe0^—[In(ox)+1]+CZK22a2%恒成立,利用换元法，设t=a久，则16(0,+8),

问题转化为2aWet—手+1恒成立.再设g(w=ex—早，利用(1)的结论求g(x)的最小值.

x

【解答过程】(1)当a=l时，/(X)=e-™,xe(0,+8),

所以尸(乃=^+矍=号”，

1

令h(%)=x2ex+Inx,则"(%)=(x2+2x)ex+

当%e(0,+8)时，/i,(x)>0,・•・h(%)在(0,+8)上单调递增，

又・・・帕)=1_也2V0,又1)=e,.•・九⑺存在唯一零点%°,且久oE&l),

当％E(0,%0)时，-(%)<0,/(%)在(0,%0)上单调递减，

当％e(%o,+8)时，1(%)>0,/(汽)在(%(),+8)单调递增.

・•・/(%)有一个极小值点久o，无极大值点.

(2),・"(％)=aeax—ln%+^a+1>2a2—Q恒成立，

axeax—[In(ax)+1]>2a2x—a%恒成立，axeax—[In(ax)+1]+ax>2a2%恒成立.

令t=a、，贝(JtE(O,+8),・•・2a4e「一电4+1恒成立.

设g(%)=e%.......—,由(1)可知g(%)的最小值为g(%o).

x-lnx

又八(久0)=%oe°+lnx0=0，•••%oe&=—=—^lnx0=—e°ln%o.(*)

设m(%)=%e%，当%>0时，mf(x)=(%+l)ex>0,・•・m(%)在(0,+8)上单调递增,

•・•x0e弓,1),/.x0>0,-lnx0>0,

由(*)知7n(%o)=ni(—In%。)，・•・x=—lnx，BPex°=7-.

00x0

/、1+ln久。11-Xo

•••g(%o)=eXn-.............=———=41,

八u，%ox0x0

2a<1+1=2,a<1,又a>0,

：,a的取值范围为(0,1].

【变式6-2](2024•天津武清•模拟预测)已知/(%)=a*—(久之0,。>0且。。1).

(1)当a=2时，求/(%)在％=0处的切线方程；

(2)当a=e时，求证：/(%)在(e,+8)上单调递增；

(3)设a>e,已知V%E停Ina,+8),有不等式/(%)20恒成立，求实数Q的取值范围.

【解题思路】(1)根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式求切线方程；

(2)PX)在(e,+8)上单调递增，即广(X)20在(e,+8)上恒成立，通过构造函数求最值的方法证明.

(3)不等式f(x)20恒成立，即野W野，通过构造函数研究单调性求最值的方法，求不等式恒成立时实数

。的取值范围.

【解答过程】(1)当a=2时，/(%)=2X—x2,/'(x)=2xln2—2x(%>0),

所以k=f(0)=ln2,/(0)=20-02=1,

所以切线方程为y-1=ln2(x-0),即y=ln2-x+1.

(2)当a=e时，/(%)=ex—xe,

则,(X)=e*—exe-1=e(ex-1—xe-1),

要证明/(%)在(e,+8)上单调递增，

只需证明/'(%)>。在(e,+8)上恒成立，

则只需证eAi>严-1,即只需证％—1>(e—l)lnx.

设gQ)=X-1—(e-l)lnx(x>e),则只需证g(%)>0

因为g'(%)=1~~T~>1—~T~=：>°，所以g(%)在(e,+8)单调递增，

所以%e(e,+8)时g(%)>g(e)=0,即％e(e,+8)时，>0成立,

所以r(%)>0，所以/(%)在(e,+8)上单调递增.

(3)/(%)之0,即谈二巴两边取对数得：x\na>alnx,艮哼.

设九㈤=号"(%)=1-%令"(久)=0,得％=e,

当工Ae时，"(%)V0,九(%)单调递减.

又因为Q>e,所以汽N£lna>?>e,/i(%)在(e,+8)单调递减，

由野〈野，则aWx在+8)恒成立，即

上式等价于421=譬，即八⑷>八©),

由以久)在(e,+8)单调递减，所以e<a4e2.

即实数Q的取值范围为(e,e2].

【变式6-3](2024•河北•模拟预测)已知函数/(%)=aln%—%.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)证明：当a>。时，/(%)<(^-1.

【解题思路】(1)先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对a进行a<0和a>0的分类讨论导数正负

即可得单调性.

(2)证/'(x)W(?)-1=f(x)max4—1，故问题转化成证alna-aW(£)-l(a>0)=lng)-(9)

+1<0,接着构造函数g(x)=\nx-x+l(x>0)研究其单调性和最值即可得证.

【解答过程】(1)由题函数定义域为(o,+oo),r(乃=?一1=?，

故当a<。时，r(x)<0恒成立，所以函数/'(X)在(0,4-8)上单调递减；

当a>。时，/(%)在(0,+8)上单调递减，令/''(%)=0=>x=a,

则》e(0,a)时，尸(x)>0；x6(a,+8)时，f'(x)<0,

所以函数/(久)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减，

综上，当aWO时，函数f(%)在(0,+8)上单调递减；当a>0时，函数f(%)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)

上单调递减.

(2)由(1)当a>0时，函数/(X)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减，

故f(久)<f(a)=alna—a在(0,+8)上恒成