补充4几种常见二次曲面

第四节几种常见的二次曲面一、曲面方程的概念二、柱面三、锥面四、旋转曲面五、二次曲面一、曲面方程的概念空间的曲面可用一个三元方程F

(

x,

y,

z)

=

0表示，称该方程为曲面的一般方程。二次曲面方程的定义：三元二次方程a

x2

+a

y2

+a

z2

+a

xy

+a

yz

+a

zx

+a

x

+a

y

+a

z

+a

=01

2

3

4

5

6

7

8

9

1062(ii

=1a

„

0)表示的图形称为二次曲面.以下给出几例常用的二次曲面.故所求方程为例1.求动点到定点方程.解:设轨迹上动点为即依题意距离为R

的轨迹xyzoM0M(x

-

x0

)2

+

(

y

-

y0

)2

+

(z

-

z0

)2

=

R0

0

0(

x

-

x

)2

+

(

y

-

y

)2

+

(z

-

z

)2

=

R2特别,当M0在原点时,球面方程为x2

+

y2

+

z2

=

R2表示上(下)球面.例2.研究方程的曲面.解:配方得此方程表示:表示怎样球心为M

0

(1,-2,0),半径为

5

的球面.说明:如下形式的三元二次方程(A≠

0

)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是一个球面,

或点

,

或虚轨迹.定义.平行定方向的动直线l沿定曲线C

移动的产生的曲面叫做柱面,

C

叫做准线,

l

叫做母线.二、柱面C准线xoy

面上的曲线l1.一般地,在三维空间方程

F

(

x,

y)

=

0

表示

柱面,母线

平行于

z

轴;xyz1l，CMM1

l在xoy

面上表示曲线C,

在C上任取一点M1

(x,y,0)

,过此点作平行z

轴的直线l,对任意

z

,

点M

(

x,

y,

z)的坐标也满足方程沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面,所以为柱面.其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间表示柱面xozyxyz

l2准线xoz

面上的曲线l3.方程

G(

y,

z)

=

0

表示

柱面,母线平行于x

轴;准线yoz

面上的曲线l2.方程H

(z,x)=0

表示柱面,母线平行于y

轴;xyzl3圆柱面x2

+

y2

=

R2xozyxyzxyzo•表示抛物柱面,母线平行于z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.z

轴的椭圆柱面.2

2+

=1a

bx2

y2•x

-y

=0

表示母线平行于z

轴的平面.(且z

轴在平面上)表示母线平行于yzoxo三、锥面一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生的曲面称为锥面。动直线称为母线，定点称为顶点，固定曲线称为准线。2

x

2

y

2+

b2

a求以椭圆=1为准线，顶点在原点

z

=

c的锥面方程。X

=

Y

=

Zx

y

z此母线与准线的交点为

(

x0

,

y0

,

c

)则

x0

=

y0

=

cx

y

z

x

=

xc

,

y

=

yc0

z

0

z(

cx

)2

(

cy

)2z

za2

b2\+设M

(x,y,z)为锥面上的任意一点，它一定是一条母线上的点.设母线方程为222a2

b2

c2=

1

x+

y=

z

.注意：x2

+y2=z2为圆锥面方程。例3解四、旋转曲面定义.一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yoz面上曲线C

绕z

轴旋转所成曲面的方程:1

1

1给定yoz

面上曲线C:z

=

z1,

x2

+

y2

=

y1故旋转曲面方程为f

(

–

x2

+

y2

,

z)

=

0若点

M

(0,

y

,

z

)

˛

C,

则有f

(

y1,

z1)

=

0当绕

z

轴旋转时, 该点转到M

(x,y,z),则有f

(

y,

z)

=

0ozyxCM1

(0,

y1

,

z1

)M

(

x,

y,

z)思考：当曲线C

绕y

轴旋转时，方程如何？C

:

f

(

y,

z)

=

0oyxzx

2

+

z

2

)

=

0f

(

y

,

–例

4

直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的

2

顶点，两直线的夹角a

0

<a<p叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为

z

轴，半顶角为a

的圆锥面方程．例4.试建立顶点在原点,旋转轴为z

轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L

的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为xyz两边平方z2

=

a2

(

x2

+

y2

)LM

(0,

y,

z)xy分别绕xx2a2

c2y2

+

z2- =

1z2a2x2

+

y2-

c2

=

1这两种曲面都叫做旋转双曲面.例5.求坐标面xoz

上的双曲线轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x

轴旋转所成曲面方程为绕z

轴旋转所成曲面方程为z五、二次曲面三元二次方程a

x2

+a

y2

+a

z2

+a

xy

+a

yz

+a

zx

+a

x

+a

y

+a

z

+a

=01

2

3

4

5

6

7

8

9

10(二次项系数不全为0)的图形通常为二次曲面.

其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法.平面被称为一次曲面．我们仅研究标准二次曲面及其图形.研究方法

平面截割法（截痕法）：即：用坐标面和平行于坐标面的一族平面与曲面相截，由截出的一族交线（即截痕）的形状，加以综合，从而了解曲面的全貌．a2

+

b2

+

c2

=

1x2

y2

z2x2

y2

z2a2

+

b2

-

c2

=

1a2x2

y2

z2+

b2

-

c2

=

-1x2

y22

p

+

2q=

zx2

y22

p

2q-+ =

z(p,q

同号)x2

y2

z2a2+

b2

=

c21.椭球面x2

y2

z2a2+

b2

+

c2

=

1x

£

a,

y

£

b,

z

£

c(2)与坐标面的交线：椭圆,b2

x2

y2+

=

1

a2z

=

0222yz+

c2

=

1,x

=

0

b22c

x2

z2+

=

1y

=

0

aabcyxzo(

a,b,c

为正数)(1)范围：a2截痕的£

b

)及z

=

z1同样

y

=

y1

(

y1也为椭圆.(3)

截痕:

与z

=

z1

(

z1

<

c)的交线为椭圆：222

22

211abc2c2x2

y2+

=

1(c

-

z

)(c

-

z

)x2

y2

z2+b2

+c2

=1

(

a,b,c为正数)z+ +

2

=

1b

2

ca

2x

2

y

2

z

2截痕法用z=z1截曲面用y=y1截曲面用x=x1截曲面abcyzo椭球面x(4)当a＝b

时为旋转椭球面;当a＝b＝c

时为球面.2.

抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)x2

y22

p

+

2q

=

z用截痕法讨论：

设

p

>

0,

q

>

01）用坐标面

xOy

(z

=

0)与曲面相截截得一点，即坐标原点O(0,0,0)原点也叫椭圆抛物面的顶点.图形位于

xOy平面的上方，并关于

yOz及zOx坐标面

对称.xyzO1

1z

=

z1y22

pz

+

2qz

=

1

x2圆的中心都在 轴上.1当z

变动时，这种椭z与平面>0)的交线为椭圆.z

=

z1

(z1xyOz2）用坐标面xOz

(

y

=

0)与曲面相截y

=

0

x2

=

2

pz截得抛物线2

12=

y1

y2q

yx

=

2

p

z

-它的轴平行于z

轴2q

y2

1

顶点

0,y1

,与平面y

=y1

的交线为抛物线.（3）用坐标面

yOz

(

x=

0)，

x=

x1与曲面相截均可得抛物线.同理当

p

<

0,

q

<

0

时可类似讨论.x2

y22

p

+

2q

=

z(1)椭圆抛物面(p,q

同号)xyoyzo椭圆抛物面的图形如下：zp

<

0,

q

<

0xp

>

0,

q

>

0特别,当p=q

时为绕z

轴的旋转抛物面.x2

y22

p

2q-+=z

(p,q

同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）与三个坐标面的交线-

p

+

q

=

2zx

=

0x2

y2

x2

y2-

p

-

q

=

2zy

=

0x2

y2-

p

+

q

=

2zz

=

0(3)

x2

y2

p

-

q

=

0叫做双抛物面的主抛物线.开口指z轴正向开口指z轴负向yp

q

x抛物线，其顶点均为原点，对称轴同– =

0

z

=

0z

=

0一对直线2x

=

-2zp

(4)

y

=

0

y2=

2zq

(5)

x

=

0设

p

>

0,

q

>

0x2

y22

p

2q-+ =

z与平行于坐标面平面的交线与平面z

=h

(h

≠0)的交线为双曲线.x2

y2-

p

+

q

=

2z双曲线顶点分别在两主抛物线上!x2

y22

ph

2qh

z

=

h+=

1-

z

=

hh

>

0

-2

ph,0,

h)

˛

(4)2qh,

h)

˛

(5)为双曲线,其顶点为(0,–虚轴与x轴平行h

<0

为双曲线,其顶点为(–虚轴与y轴平行yzoxx2

y2(2)

双曲抛物面（鞍形曲面）-

2

p

+

2q

=

z

(

p

,

q

>0)用截痕法讨论：设

p

>

0,

q

>

0图形如下：xyzo(2)

双曲抛物面（鞍形曲面）x2

y2-

2

p

+

2q

=

z(

p

,

q

>0)与平面x

=x1的交线为抛物线.1x

2

y2=

2q(z

+

1

)

x

=

x2

p抛物线yxoz3.

双曲面(1)单叶双曲面1)

y1x2

z2

y

2a2

c2b2- =

1

-

1

(实轴平行于x轴；虚轴平行于z

轴）1y

=

yx2

y2

z2a2+b2

-c2

=1

(

a,b,c

为正数)平面z=z1上的截痕为椭圆.平面y

=y1

上的截痕情况:<b

时,截痕为双曲线:xyoz虚轴平行于x

轴）– =

0a

cx

z3)

y1x2

z2

y

2a2

c2

b2- =

1

-

1

y

=

y1(实轴平行于z

轴;2)

y1

=b

时,截痕为相交直线:y

=b

(或-b)>b时,截痕为双曲线:<

0xyozxyoz(2)双叶双曲面x2

y2

z2a2+

b2

-

c2=-1

(

a,b,

c

为正数)平面y

=y1平面x

=x1平面z

=z1注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:上的截痕为双曲线上的截痕为双曲线(z1

>c)上的截痕为椭圆zxyox2

y2

z2a2+