河南省焦作市博爱县第三中学高三数学理下学期摸底试题含解析

河南省焦作市博爱县第三中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是

（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A2.如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（

）A．4、5、6

B．6、4、5

C．5、4、6

D．5、6、4参考答案：C3.在半径为R的圆周上任取A、B、C三点，试问三角形ABC为锐角三角形的概（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B4.已知则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D5.已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则?UP=（）A．[，+∞） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）参考答案：A【考点】对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算．【分析】先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U=（0，+∞），同样：P=（0，），得到CUP=[，+∞）．故选A．【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．6.函数的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】先求出函数的定义域，再利用函数值，即可判断．【解答】解：由1﹣x2≠0，解得x≠±1，∵函数，当x=2时，f（x）＜0，当x=﹣2时，f（x）＞0，当x=时，f（x）＞0，当x=﹣时，f（x）＜0，故选：B．7.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A，B是抛物线上互异的两点，直线AB的斜率存在，线段AB的垂直平分线交x轴于点D（a，0）（a＞0），n=||+||，则（）A．p，n，a成等差数列 B． p，a，n成等差数列 C．p，a，n成等比数列 D． p，n，a成等比数列参考答案：B8.已知函数，则f（x）的值域是（）A．[﹣1，1] B． C． D．参考答案：D【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解：由题=，当时，f（x）∈[﹣1，]当时，f（x）∈（﹣1，）故可求得其值域为．故选：D．9.已知在△ABC中，sinA＋cosA＝，则tanA=

参考答案：-4/310.在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有

（

）

A.0个

B.

1个

C.2个

D.

3个参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.lg5lg2+lg22﹣lg2=

．参考答案：0考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解答： 解：lg5lg2+lg22﹣lg2=lg2（lg5+lg2）﹣lg2=lg2﹣lg2=0．故答案为：0．点评：本题考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查．12.已知单位向量α，β，满足|α＋3β|＝|2α－β|，则α与β的夹角为______．参考答案：

略13.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，若，则_________.参考答案：.【分析】由题意可得，从而由，解得λ+μ．【详解】∵AB＝2，∠ABC＝60°，∴BH＝1，∴，∴λμ，，故λ，μ，故λ+μ；故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．14.已知函数f(x)=sin（＞0）.在内有7个最值点，则的范围是--______参考答案：略15.如左下图所示，是某校高三年级文科60名同学参加谋科考试所得成绩（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，根据该图这次考试文科60分以上的同学的人数为____________.参考答案：45略16.若椭圆经过点，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则▲．参考答案：2【知识点】椭圆及其几何性质H5椭圆经过点得b=,椭圆的长轴长是焦距的两倍a=2c,,b=联立得a=2.【思路点拨】a=2c,,b=联立得a=2.17.已知是边长为1的正三角形，平面，且，则与平面所成角的正弦值为________．若点关于直线的对称点为，则直线与所成角的余弦值是________．参考答案：，；

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）如果对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对参数a讨论得到函数的单调区间． （Ⅱ）由题对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，则x1f（x1）≥g（x）max，然后分离参数，求出a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），， 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增； 当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增； 若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； 所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．… （Ⅱ），， 可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增， 当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减， 而，所以，g（x）在区间上的最大值是1， 依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立， 即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；… 令， 则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0， 当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0， 即h（x）在区间上单调递增； 当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减； 所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1， 故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．… 【点评】本题主要考查含参数的函数求单调区间的方法和利用导数求最值问题，属于难题，在高考中作为压轴题出现． 19.（本小题满分14分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）当时，，．

………………2分由，得曲线在原点处的切线方程是．……3分

（Ⅱ）．

………………4分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．

……5分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘

故的单调减区间是，；单调增区间是．………7分③当时，与的情况如下：↗↘↗

所以的单调增区间是，；单调减区间是…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，时不合题意．

……10分

当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．设为的零点，易知，且．从而时，；时，．若在上存在最小值，必有，解得．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．12分

当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必有，解得，或．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．

综上，的取值范围是．

………………14分20.已知正项等差数列满足，公比为的等比数列的前项和满足，.(1)求数列的通项公式和公比的值；(2)设数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值.参考答案：解：（1）

得或

又

所以

由，

所以或因为为等比数列，所以，所以

·（2）

因为，所以即，得所以，即

略21.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=的菱形，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点.（1）求证：平面O1AC⊥平面O1BD；（2）求二面角O1－BC－D的大小；（3）求点E到平面O1BC的距离.参考答案：解析：证明：（1）在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∵底面是菱形，且AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，∴OO1∥CC1，又四棱柱是直四棱柱，∴OO1⊥面ABCD，且AC面ABCD，∴OO1⊥AC，又底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥面O1BD，又AC面O1AC，故平面O1AC⊥平面O1BD.（2）过O作OF⊥BC于F，连结O1F，根据三垂线定理，得O1F⊥BC，∴∠O1FO为所求角，∵底面是边长为4且∠DAB=的菱形，∴OF=，又OO1=3，故tan∠O1FO=，即∠O1FO=，故二面角O1－BC－D的大小是.（3）设点A到面O1BC的距离为h，根据（2）可知，O1F=2

，∴，即×h×BC×O1F=×O1O××42×sin，∴h=3，又E是O1A的中点，故E到面O1BC的距离为.22.已知各项不为零的数列的前项和为，且，（）（1）求证：数列是等差数列；（2）设数列满足：，且，求正整数的值；（3）若、均为正整数，且，，在数列中，，，求.参考答案：【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列、数列的极限.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参