圆锥曲线定点定值及其他常用结论(个人整理,已经没错误)

圆锥曲线定点定值及其他常用结论(个人整理,已经没错误)

圆锥曲线定点定值及其他常用结论一、直线过定点问题考虑圆锥曲线上的两动点A、B和一定点M，其中α、β分别为MA、MB的倾斜角，则有以下结论：①、MA·MB为定值当且仅当直线AB恒过定点；②、kMA·kMB为定值当且仅当直线AB恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)当且仅当直线AB恒过定点。要证明直线y=kx+m过定点，只需要找到k与m之间的关系即可。确定定点P(m,n)，可以证明AP、BP、AB任意两个斜率相等即可。二、定值问题基本思路是将问题转化为与A、B两点相关的斜率k1和k2的关系式，或者与x1+x2、x1x2的关系式。结论如下：①、若代数式表达式结果为分式，且为定值，则系数对应成比例。例如，cx+d/cd=常数，与x无关；ax+b/ab=常数，与x无关。②、若代数式表达式结果为整式，则无关参数的系数为0。三、椭圆经典结论1、过椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x,y)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B、C两点，则直线BC有定向且kBC=±b2x/a2y。2、设椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的两个焦点为F1、F2，P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α，∠PF1F2=β，∠F1F2P=γ，则有sinα/c=sinβ+sinγ/a。3、椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2+B2b2≥C2。4、已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP⊥OQ（对原点张直角），则有以下结论：1）4a2b2/(a2+b2)1≤OP·OQ≤2a；2）OP+OQ的最大值为2a；3）△OPQ的面积S的最小值是a·b/2；4）直线PQ必经过一个定点(2ab2/(a2+b2),0)；5）点O到直线PQ的距离d为定值：d=2a-b2/a。注意，需要删除明显有问题的段落，例如第一段中的“方法：”一词。同时，需要对一些表达方式进行简化，例如将“当且仅当”改为“当”，将“系数对应成比例”改为“系数成比例”。1.过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点$F$作直线交椭圆于$M,N$两点，弦$MN$的垂直平分线交$x$轴于$P$，则有$\frac{|PF|}{e}=\frac{1}{|MN|^2}$。2.类比地，过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点$F$作直线交该双曲线的右支于$M,N$两点，弦$MN$的垂直平分线交$x$轴于$P$，则有$\frac{|PF|}{e}=\frac{1}{|MN|^2}$。3.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$M$为其对称轴上除中心、顶点外的任一点，过$M$引一条直线与椭圆相交于$P,Q$两点，则直线$A_1P$、$A_2Q$（$A_1,A_2$为对称轴上的两顶点）的交点$N$在直线$l:x=0$（或$l:y=0$）上。4.给定椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A,B$是其上异于的两动点，其中$\alpha,\beta$分别为$\anglePAF,\anglePBF$，则可以得到下面几个充要的结论：$PA\perpPB\Leftrightarrowk_{DA}\cdotk_{DB}=-1\Leftrightarrow\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow$直线$AB$恒过定点$\left(\frac{a^2-b^2}{a+b},0\right)$。5.类比地，给定双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），对其上任意给定的点$P(x,y)$，它的任一直角弦必须经过定点$\left(\frac{a^2-b^2}{a-b},0\right)$。6.设抛物线$y=2px$（$p>0$），$A,B$是其上异于$D(x,y)$的两动点，其中$\alpha,\beta$分别为$\angleDAP,\angleDBP$，则可以得到下面充要的结论：$DA\perpDB\Leftrightarrowk_{DA}\cdotk_{DB}=-1\Leftrightarrow\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow$直线$AB$恒过定点$(2p,0)$。7.设$P$点是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上异于长轴端点的任一点，$F_1,F_2$为其焦点，记$\angleF_1PF_2=\theta$，则有：（1）$|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{\theta}{2b^2}$；（2）$S_{\trianglePF_1F_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}\cdot\left(1+\frac{\cos\theta}{2}\right)$。类比地，对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$），有$S_{\triangleF_1PF_2}=\frac{ab}{2}\tan\theta$，其中$\theta=\angleF_1PF_2$。8.删除该段落，因为它没有明显的格式错误，但也没有给出具体的结论或问题。9.删除该段落，因为它没有明显的格式错误，但也没有给出具体的结论或问题。1.椭圆的参数方程为：$x=acos\theta,y=bsin\theta$，其中$a>b>0$。动点坐标可设为$(acos\theta,bsin\theta)$。2.抛物线的参数方程为：$y^2=2px$，动点坐标可设为$(t,2pt^2)$，其中$p>0$。为简化计算，可设抛物线上的一点为$(t,t^2)$。3.双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。若渐近线方程为$y=\pmx$，则双曲线可设为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$。若双曲线与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$有公共渐近线，则可设为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$，其中$\lambda>1$表示焦点在$x$轴上，$\lambda<1$表示焦点在$y$轴上。4.双曲线焦点到渐近线的距离为$\frac{b}{a}$，顶点到渐近线的距离为$c$。等轴双曲线的方程为$x^2-y^2=a^2$，渐近线方程为$y=\pmx$，离心率为$e=2$。5.抛物线上的焦点为$(0,\frac{p}{2})$，弦$AB$的斜率为$\tan\theta=\frac{2p}{y_2-y_1}$，其中$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$为弦的两个端点。弦的中点为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，且过焦点，故弦的中垂线为$x=\frac{x_1+x_2}{2}$。6.圆的参数方程为$x=a+r\cos\theta,y=b+r\sin\theta$，其中$a,b$为圆心坐标，$r$为半径。圆上一点$P(x_1,y_1)$与圆心$O(a,b)$的连线为半径，斜率为$k=\frac{y_1-b}{x_1-a}$。过点$P$的切线斜率为$k'=-\frac{x_1-a}{y_1-b}$，切线方程为$y-y_1=k'(x-x_1)$。由于切线过圆心，故有$(a-x_1)k'+y_1=b$，联立解得切线方程为$(x-x_1)(x-a)+(y-y_1)(y-b)=r^2$。7.椭圆上一点$P(x_1,y_1)$的切线方程为$\frac{x_1}{a^2}(x-x_1)+\frac{y_1}{b^2}(y-y_1)=1$。双曲线上一点$P(x_1,y_1)$的切线方程为$\frac{x_1}{a^2}(x-x_1)-\frac{y_1}{b^2}(y-y_1)=1$。抛物线上一点$P(x_1,y_1)$的切线方程为$y-y_1=2p(x-x_1)$。中点弦问题可用点差法解决，即设弦两端点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则弦的中点为$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，弦的长