2022-2023学年河南省开封市许河第一中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年河南省开封市许河第一中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（☆）A.

B.

C.

D.参考答案：C2.对于指数函数,“”是“在R上单调”的(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.圆关于直线对称的圆的方程是(

)A．

B．C.

D．参考答案：D圆的圆心关于直线对称的坐标为，从而所求圆的方程为.故选D.

4.已知直线与平行，则的值是A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2参考答案：C若，则两直线为，，此时两直线平行，所以满足条件。当时，要使两直线平行，则有，即，解得，综上满足条件的值为或，选C.5.设集合,，那么“mA”是“mB”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：A

解析：由得,可知“”是“”的充分而不必要条件.【高考考点】本题主要考查分式不等式及四种命题【易错提醒】很容易混淆充分条件和必要条件的推导方向即那个为条件那个为结论.【备考提示】一定要劳记充分条件或者必要条件是由谁推谁?特别注意“A的充分不必要条件是（）”题型.6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

（

）A．

B．

C． D．参考答案：D略7.已知是复数z的共轭复数，且满足（1﹣z）（1+）=2i，则z=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用回代验证法求解即可．【解答】解：如果z=i，则（1﹣i）（1﹣i）=﹣2i，不满足题意；若z=﹣i，则（1+i）（1+i）=2i，满足题意．故选：B．8.在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对（）的概率是（

）A.

B.C.D.参考答案：B略9.已知等比数列{an}的公比为正数，且，则(

)A. B.2 C. D.参考答案：D设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故，故选D.10.已知，函数的定义域为M，，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为

☆

．参考答案：12.已知两点，.以为圆心，为半径作圆交轴于点（异于），记作⊙；以为圆心，为半径作圆交轴于点（异于），记作⊙；……；以为圆心，为半径作圆交轴于点（异于），记作⊙.当时，过原点作倾斜角为的直线与⊙交于，.考察下列论断：当时，；当时，；当时，；当时，

.由以上论断推测一个一般的结论：对于，

.参考答案：，.13.已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为

．参考答案：考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值．解答： 解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为x﹣y+4=0圆心C到直线的距离为d==2∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半径为∴C上各点到l的距离的最大值为2+=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．14.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为

.参考答案：甲15.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得，则的最小值为

.参考答案：16.已知两条直线和互相平行，则等于

.

参考答案：1或-3略17.如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点在第二象限，，则点的坐标为__________．参考答案：∵，∴，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正余弦定理化简可得角C的大小；（2）由bsin（π﹣A）=acosB，根据正弦定理化简，求出c，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1，∴．19.如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路，另一侧修建一条观光大道，它的前一段是以为顶点，轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段是函数，时的图象，图象的最高点为，，垂足为.(1)求函数的解析式；(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园，问：点落在曲线上何处时，水上乐园的面积最大？参考答案：解(1)对于函数，由图象知

.将代入到中，

得，又，所以.

故

（2）在中，令，得，

所以曲线所在抛物线的方程为设点，则矩形的面积为，．因为，由，得且当时，，则单调递增，当时，，则单调递减

所以当时，最大，此时点的坐标为略20.设f（α）=sinnα+cosnα，n∈{n|n=2k，k∈N+}（I）分别求f（α）在n=2，4，6时的值域；（Ⅱ）根据（I）中的结论，对n=2k，k∈N+时f（α）的取值范围作出一个猜想（只需写出猜想，不必证明）．参考答案：【考点】三角函数的最值．【专题】综合题；探究型；对应思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）当n=2时，由平方关系求得f（α）=1，得到f（α）的值域为{1}；当n=4时，把f（α）变形可得f（α）=，得f（α）的值域为[，1]；当n=6时，f（α）=，f（α）的值域为[，1]．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论猜想，当n=2k，k∈N*时，．【解答】解：（Ⅰ）当n=2时，f（α）=sin2α+cos2α=1，∴f（α）的值域为{1}；当n=4时，f（α）=sin4α+cos4α=，此时有f（α）≤1，∴f（α）的值域为[，1]；当n=6时，f（α）=sin6α+cos6α=（sin2α+cos2α）（sin4α+cos4α﹣sin2αcos2α）=，此时有f（α）≤1，∴f（α）的值域为[，1]．（Ⅱ）由以上结论猜想，当n=2k，k∈N*时，．【点评】本题考查三角函数最值的求法，考查三角函数的值域，训练了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．21.几何证明选讲）（本小题满分0分）已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点．求证：直线PC经过点E．参考答案：【考点】圆周角定理．【专题】立体几何．【分析】连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点，得到∠AOE=∠BOE=90°，利用圆周角定理得到．

利用，∠APB的平分线有且只有一条，只要证明PC与PE重合．【解答】证明：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点则∠AOE=∠BOE=90°．

…因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，所以．

…同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分线．

…又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．所以直线PC经过点E．…【点评】本题考查了圆周角定理的运用；关键是熟练圆周角定理的内容，正确运用．22.（12分）设函数f(x)=lnx+,m∈R.(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(Ⅱ)讨论函数g(x)=f'(x)-零点的个数;(Ⅲ)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．B12

【答案解析】（Ⅰ）2（Ⅱ）当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(Ⅲ)[，+∞）解析：(Ⅰ)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,则f'(x)=,∴当x∈(0,e),f'(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞),f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增,∴x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+=2,∴f(x)的极小值为2.(Ⅱ)由题设g(x)=f'(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,∴φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(Ⅲ)对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【