信号与系统复习版

§

3.3典型周期信号的傅里叶级数周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号我们重点讨论周期矩形脉冲信号的频谱，由

此得出的某些结论，适用于所有的周期信号。一.周期矩形脉冲信号的频谱分析f

(t)

E02

21

1nT

t

nT

2

21

1nT

t

(n

1)T

2

2T1

P90(3-5)1.求f(t)的复数振幅和展开成傅立叶级数n1f

(t)

a0

an

cos(n1t

)TTnT2T21T2T212f

(t)e2Ee

jn1t

dt

jn1t

dt

a

2n

1sin

n

1T1]

2

E

S

a(

n

1

)T1

2

2

E

[2周期矩形脉冲频谱的数学表达式上式中n=0，则为不定式利用罗必塔法则11022sin2TTE

n

1n

12

E

[]

a

1

limn

02111Tcos

n

t]n

sin

n1En

1

2[1

2

f

(t)

11T

2n2f

(t)

T1e

jn1t2n1sin

n1E2.画频谱图由复振幅

Fn的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所构成的包络是xsin

x的形式----称为抽样函数。1.找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）21

2sin

Tn包络线方程为

a

2E与横轴的交点由下式决定：2sin

2

02即：

,2

,3

0

2

4

6

2m,

...0

1

,

2

3

2

f

f

f

f01f

0

f

T

T

,

2T

,

3T

所以，包络线与横轴的交点应满足两个条件：一是谐波条件。二是谐波为零的条件。(

f

0表示过零点的谐波频率

)若这些频率恰好是基波频率的整数倍，则相应的谐波为零。

(

f1表示基波频率)2.粗略求出各次谐波的振幅值的表达式可知：由

an3当

T1

1

时，零时刻函数值为T1

3E

1

E 1

3即当T时，第一个零点内含有二条谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。C

n2

E34

2

3

f16

f12(

)n11(

)011T3.相位的确定

2代入

Cn

可知1nF

E

sin

n

(

p103

104)n

T1nT1当角度

n在第一、二象限时F

为正实数即相位为零。n当角度

T在第三、四象限时Fn

为负实数即相位为二.结论1.离散性2.谐波性3.收敛性1.频谱是离散的,两谱线间的距离为112T

10T2.由

F

E

知,当E变大、变大时，则各次谐波的幅度愈大.

T1变大时,则谐波幅度愈小.3.当21或n

21

m

n

m时，谱线的包络经过零值。4.频带问题(p164.3-17)a.对于单调衰减的信号，把零频率到谐波幅度降到最大值十分之一的那个频率间频带，称为信号的带宽1011fb.对于周期过零的信号常认为包络线第一个零点以上的谐波可以忽略不计.

1

f

[例题]

试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中E=1，T=1/4，=1/20。22

TtTfT

(t)E[解]

周期矩形脉冲的傅立叶复系数为2

1

1n

sin(

n1)E

n

E

T

2

TF

nSa(

)＝2将E=1，T=1/4，=1/20，1=2/T=8

代入上式Fn

0.2Sa(n1

/

40)

0.2Sa(n

/

5)包含在有效带宽(0~2/)内的各谐波平均功率为n=1204

42

201|

F

(n

)

|

)

|

F

(0)

2|

F

(nP

n=—4

0.1806P1

0.1806

90%P

0.200信号的平均功率为T

/

2T

/

2f

2

(t)dt

0.2TP

12nFn0840

40125周期信号的功率谱三.1T

的比值改变时，对频谱结构的影响。P105.图(3-11)和p106.图（3－12）1.T1不变，

变a.

T1不变，1不变，即谱线的疏密不变b.

,则Fn的收敛速度变慢不变，T1变时T1

,1

,谱线密集不变

2

不变，，包络线的零值位置不变T1

时，时域波形和频谱结构会发生什么变化呢？§

3.4傅立叶变换一.频谱密度函数二.非周期信号的频谱分析----傅立叶变换三.傅立叶积分的其他形式四.傅立叶变换的存在五.周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比一.问题的提出从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。从数学角度来看：无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。211T2TT

nf

(t)e

dtTF

lim

jn

tn

nF

e1f

(t)

jn

t结论：信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。T

时，信号的频谱分布仍然存在。二.频谱密度函数1.定义：令112

lim20(T

)FF(

j)

lim

F

TnnT

TTnT

T

2a.

lim

TF

limf

(t)e

jn1t

dt2b.这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不变的。2.几点说明a.F

(j

)代表了信号中各频率分量振幅的相对大小。Tb.各频率分量的实际振幅为

2

|

F

(

j)

|

|

F

(

j)

|

d|

F

(

j

)

|a(

)的振幅。是无穷小量。C.

F

(j

)具有单位频率振幅的量纲。d.F(

j)

|

F(

j)

|

ej()

a()

jb()a2

(

)

b2

(

)为F

(j

)

(

)

arctg

b(

)

为F

(j

)的相位。且

|

F

(

j

)

|

和

a(

)

为的偶函数。

(

)

和jb(

)为的奇函数。补充：复数谱（又称为幅相频谱）复数谱的图形通常用横轴表示实部，纵轴表示虚部。频率作为参变数，给定一个频率值，便可得到曲线上一点。设TTk

1

tf

(t)

ee

e

dtkT

j

t

T

1

t1221(

)TeTT则

F

(

j

)

kk

arctg

(

)

1

j

TF

(

j

)

(

j

)00b(

)

0a(

)K21

a(

)

jb(

)

jK

K

KTjT

1

2T

2

1

2T

2

1F

(

j

)

a(

)[

b(

)

]2

1Ka(

)

a(

)

b(

)

T222Ka2

(

)

b2

(

)

Ka(

)

0

[a(

)

1

K

]2

b2

(

)

(

)三.非周期信号的频谱分析----傅立叶变换1.由傅立叶级数到傅立叶积分2111T2nnTnf

(t)e

dtTF

F

ef

(t)

jn

tjn

t当T

时1

d,1

0,n

,n1

nT

T

f

(t)e

jt

dtF

(

j)

lim

TF

limT2T2f

(t)e

jn1t

dt1T

2

1Tf

(t)

lim

F

Tenjn

tnT

1

1当

T

时11

d

,

n

T

2jtf

(t)e

jt

dtF

(

j

)

F

(

)e

d

1

2f

(t)

反变换正变换2.几点说明：a.正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。时间函数f(t)可以表示为频率在区间(

)内的指数函数的连续和。傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之间相互变换的工具。正变换通常叫做分析运算，反变换通常叫做综合运算。B.关于连续谱的说明具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。用梁上所承受的负荷来说明：xx1

2

7x

xF1

F2

F7x1xF

(x)/米7wT

Fr

离散r

17xx1x2F

(x)dx

连续w

3.傅立叶积分的三角形式jt)dt

(|

F()

|

sin[

1

2)d

jt

(|

F()

|

cos[

1

2|

F()

|

e

e

d

1

2F()e

d

1

2f

(t)

j

()

jt01

|

F

(

)

|

cos(

t

(

)]

d

非周期信号：周期信号：01

)]dt

(|

F

(

)

|

cos(f

(t)

f

(t)

C0

Cn

cos(nt

n

)n1周期信号与非周期信号都可以分解为许多不同频率的正弦分量。对周期信号，是用实际振幅Cn

作出的。对非周期信号，是用密度函数F

(j

)作出的。四.傅立叶积分的其他形式jtF

(

j

)e

df

(t)

af

(t)e

jt

dtF

(

j

)

a2

1只要21

2a

a

11

1

1

2a

1

,

a

1a1

a2

22a1

1,

a2

2j

2ftF

(

f

)e

dff

(t)

f

(t)e

j

2ft

dtF

(

f

)

在最近的科技书中比较通用的形式有：五.傅立叶变换的存在F

(j

)存在的充分条件：f

(t)

dt|

f

(t)||e

|

dt|

f

(t)e

|

dt|

F(

j

jt

jt)|

由|

f

(t)dt

|

知而|

e

jt

|

1|

F

(

)

|

|

f

(t)

|

dt傅立叶变换存在的充分条件是：|

f

(t)|

dt

存在。六.周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比的形式。x1.它们都具有抽样函数

sin

x2.221n1nT2E

sinan

2sin2和F

(j

)

EA.2n

值较F

(j

)值多乘了Ta这是由于两者的定义规定的。B.an

中的不连续变量n1在F

(j

)中变成了连续变量C.由非周期脉冲按一定的周期T重复后构成的周期信号.F

(

j

)和

an

之间可以互求。3.非周期信号的频谱也具有收敛性。脉宽的定义方法与周期信号相同。分析：周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得信号在时域有限，则在频域将无限延续。信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。1.

非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。非周期信号频域分析小结重要概念:非周期信号的频谱非周期信号的频谱与周期信号的频谱的区别非周期信号频谱的物理意义非周期信号频谱的分析方法分析问题使用的数学工具:傅里叶变换常用基本信号的频谱与傅里叶变换的性质工程应用:调制、解调，频分复用第三次作业点评：p85,2-18dtde(t)

6e3tu(t)

2e3t

(t)

3e(t)

2e2t

(t)解：e(t)＝2e3tu(t)2h(t)

1

e2tu(t)dt

3r(t)

2h(t)

3r(t)

e2tu(t)

3e(t)

2

(t)H

(

de(t))

H

[3e(t)

2

(t)]

点评:本题是求反卷积的问题。利用了e(t)

2e3t

u(t)求导后出现冲激函数和自身，具有这一特点的函数，求反卷积用本例的方法比较简单。预习§3.5

§

3.6§

3.9作业:3-19证明：当全波和半波两个对称条件都满足时，求傅立叶级数的系数只要对四分之一波形积分即可。f

(t)

f

(t)（全波对称）f

(t)

f

(t

T

)

半波对称）

（208

4T证：an

T

f

(t)

cos

ntdt2

22

02

2002T2TTT

T2

2T

f

(t)

cos

ntdt

T

f

(t)

cos

ntd

(t)

an

T

f

(t)

cos

ntdt

T