二次函数压轴题之构造二倍角、半角

二次函数压轴题之构造二倍角、半角

构造二倍角、半角构造相等角的方法有很多种，其中包括构造已知角的半角或二倍角。角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中。因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一。常用的方法如下：思路1：构造半角三角函数。可以使用三角函数来构造半角。具体来说，可以使用以下公式：tan(α/2)=a/(b+a^2/b)构造二倍角三角函数：可以使用勾股定理来求解二倍角三角函数值。思路2：等腰三角形外角。三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和。构造二倍角、半角的方法因角度的不同而不同，但是以上两种方法是比较常用的。构造抛物线题目描述：如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x^2+bx+c经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C。（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标。解析：（1）抛物线：y=-x^2+x+2；（2）思路：转化为等角本题中的∠BAC和∠ABD是内错角，若是构造∠ABD=∠BAC，作平行线即可。两倍角亦可以作平行构造出。过B作x轴的平行线，作BA关于平行线对称的直线，与抛物线交点即为D点。考虑到k(BA)=-1，故k(BD)=1/2，可得直线BD解析式为：y=(1/2)x+2，与抛物线联立方程：-x^2+x+2=x+2，解得：x1=-1/2，x2=2，故D点坐标为（2，3）。构造抛物线的方法是通过已知点来确定其解析式。在本题中，已知抛物线经过两个点A和B，因此可以通过联立方程来求解其解析式。而对于点D的求解，则可以通过构造等角来得到其坐标。如图，抛物线$y=x^2+bx+c$交$x$轴于$A、B$两点，其中点$A$坐标为$(1,0)$，与$y$轴交于点$C$$(0,-3)$．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接$AC$，点$P$在抛物线上，且满足$\anglePAB=2\angleACO$。求点$P$的坐标。（1）解法：由已知，得到两个方程：$$\begin{cases}y=x^2+bx+c\\y=0\end{cases}$$解得$x_{1,2}=-1,3$，则点$A$坐标为$(1,0)$，点$B$坐标为$(3,0)$。因为点$C$坐标为$(0,-3)$，所以抛物线的函数表达式为$y=x^2+2x-3$。（2）解法：由已知，得到$\tan\angleACO=\dfrac{1}{3}$，又因为$\anglePAB=2\angleACO$，所以$\tan\anglePAB=\tan2\angleACO=\dfrac{3}{4}$。又因为直线$AB$的斜率为$k_{AB}=-2$，所以直线$AB$的法线斜率$k_{AC}=\dfrac{1}{2}$。因为点$P$在抛物线上，所以直线$AP$的斜率为$k_{AP}=2x_P+2$，所以直线$AP$的法线斜率为$k_{ACO}=-\dfrac{1}{2x_P+2}$。根据相似三角形，有$\tan\anglePAB=\dfrac{3}{4}=\dfrac{k_{AP}-k_{AB}}{1+k_{AP}k_{AB}}$，即：$$\dfrac{3}{4}=\dfrac{2x_P+2+2}{1-(2x_P+2)\times(-2)}$$解得$x_P=\dfrac{9}{4}$。当$k_{AP}=\dfrac{3}{4}$时，直线$AP$的解析式为$y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{15}{4}$，所以点$P$的坐标为$\left(\dfrac{9}{4},-\dfrac{3}{4}\right)$。当$k_{AP}=-\dfrac{3}{4}$时，直线$AP$的解析式为$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{63}{4}$，所以点$P$的坐标为$\left(-\dfrac{39}{4},\dfrac{45}{4}\right)$。综上所述，点$P$的坐标为$\left(\dfrac{9}{4},-\dfrac{3}{4}\right)$或$\left(-\dfrac{39}{4},\dfrac{45}{4}\right)$。(1)抛物线的解析式为$y=-x^2+6x+c$。(2)过点$A$的直线与直线$BC$的交点为$M$，连接$AC$。当直线$AM$与直线$BC$的夹角等于$\angleACB$的$2$倍时，求点$M$的坐标。设$M$点坐标为$(m,m-5)$，由$\triangleAMC$可得$MC^2=2m^2$，$AM^2=(m-1)^2+(m-5)^2$。当$AM=CM$时，即$2m^2=(m-1)^2+(m-5)^2$，解得$m=\frac{13}{6}$。故点$M$的坐标为$(\frac{13}{6},\frac{11}{3})$。另外，过点$A$作$AH\perpBC$，交$BC$于$H$点，则点$M$关于$H$的对称点$M'$也满足条件。易求$H$点坐标为$(3,-2)$，故点$M'$的坐标为$(\frac{7}{6},-\frac{1}{3})$。综上所述，点$M$的坐标为$(\frac{13}{6},\frac{11}{3})$或$(\frac{7}{6},-\frac{1}{3})$。(8)二次函数$y=k(x-1)^2+2$的图像与一次函数$y=kx-k+2$的图像交于点$A$、$B$，点$B$在点$A$的右侧，直线$AB$分别与$x$、$y$轴交于$C$、$D$两点，其中$k<0$。求点$A$、$B$两点的横坐标。令$k(x-1)^2+2=kx-k+2$，解得$x_1=1$，$x_2=2$。故点$A$的横坐标为$1$，点$B$的横坐标为$2$。二次函数图像的对称轴与$x$轴交于点$E$，求是否存在实数$k$，使得$\angleODC=2\angleBEC$。若存在，求出$k$的值；若不存在，说明理由。考虑到$\tan\angleODC=-\frac{1}{k}$，故可延长$OD$至$M$点使得$DM=DC$，可得$\angleOMC=\frac{1}{2}\angleODC$。$\tan\angleBEC=\frac{k+2}{1}=\frac{k+2}{k-1}\tan\angleOMC=\frac{k^2+k+2}{k-1}$。若$\angleOMC=\angleBEC$，即$\frac{k^2+k+2}{k-1}=k+2$，解得$k=-1$。否则，$\angleOMC\neq\angleBEC$，不满足条件。1.解方程得到k的值为-3或$-\frac{4}{7}$。2.给定抛物线的函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。对于问题（2），首先考虑$\anglePBE=2\angleOBE$的情况。构造$\anglePBO=\angleOBE$，可以得到$\anglePBE=2\angleOBE$。由于$k_{EB}=\frac{1}{2}$，因此直线PB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。联立方程$-x^2+2x+3=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$，因此P点的坐标为$\left(\frac{17}{4},4\right)$。其次考虑$\anglePEB=2\angleOBE$的情况。构造三垂直相似$\triangleBOE\sim\triangleEMF$，其中$\tan\angleEBF=\frac{4}{3}$，过点E作$EF\perpEB$交$BF$于$F$点，则$BF$与抛物线的交点即为所求P点。不难求得$F$点坐标为$\left(2,-\frac{11}{2}\right)$，因此直线$BF$的解析式为$y=\frac{113}{66}x-\frac{2}{3}$。联立方程$-x^2+2x+3=\frac{113}{66}x-\frac{2}{3}$，解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{13}{2}$，因此P点的坐标为$\left(-\frac{13}{2},-\frac{209}{4}\right)$。最后再考虑$\anglePEB=2\angleOBE$的情况。过点B作$BF\perpBE$交$PE$于$F$点，构造三垂直相似$\triangleBME\sim\triangleFNB$。不难求得$F$点坐标为$(1,4)$，因此直线$EF$的解析式为$y=\frac{11}{2}x-\frac{3}{2}$。联立方程$-x^2+2x+3=\frac{11}{2}x-\frac{3}{2}$，解得$x=3$，因此P点的坐标为$(3,0)$。综上，符合条件的点P的坐标为$\left(\frac{17}{4},4\right)$和$(3,0)$。在平面直角坐标系中，已知直线$y=\frac{1}{x}-2$与$x$轴交于点$B$，与$y$轴交于点$C$，二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$的图像经过$B$，$C$两点，且与$x$轴的负半轴交于点$A$，动点$D$在直线$BC$下方的二次函数图像上。（1）求二次函数的表达式；（2）如图，过点$D$作$DM\perpBC$于点$M$，是否存在点$D$，使得$\triangleCDM$中的某个角恰好等于$\angleABC$的$2$倍？若存在，直接写出点$D$的横坐标；若不存在，请说明理由。分析：（1）由已知，直线$y=\frac{1}{x}-2$与$x$轴交于点$B(1,0)$，与$y$轴交于点$C(0,-2)$，因此二次函数经过点$B$，$C$，即可列出二次函数的表达式：$$y=\frac{1}{2}x^2-2x-2$$（2）根据题意，$D$点在直线$BC$下方的二次函数图像上，因此可设$D$点坐标为$(x,\frac{1}{2}x^2-2x-2)$，则直线$CD$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x-2$。①若$\angleMCD=2\angleABC$，则$\tan\angleMCD=\tan2\angleABC=\frac{2\tan\angleABC}{1-\tan^2\angleABC}=\frac{4}{3}$。因此，过点$C$作$CN\parallelx$轴，作$CB$关于$CN$的对称直线与抛物线交点即为$D$点。易知$CN$的解析式为$y=-2$，$CB$的解析式为$y=\frac{1}{x}$，联立可得交点坐标为$(\frac{1}{2},-2)$，因此$D$点的横坐标为$\frac{1}{2}$。②若$\angleMDC=2\angleABC$，则$\tan\angleMCD=\tan2\angleABC=\frac{2\tan\angleABC}{1-\tan^2\angleABC}=\frac{3}{4}$。因此，过点$B$作$BE\perpBC$交$CD$的延长线于$E$点。易证：$\triangleEFB\sim\triangleBOC$，且相似比为$\frac{3}{4}$。因此，$BF=\frac{3}{2}$，$EF=3$。由于$C$点坐标为$(0,-2)$，$E$点纵坐标为$-2-3=-5$，因此$F$点坐标为$(\frac{11}{2},0)$。因此，直线$CE$的解析式为$y=-