二次根式的五重点三难点突破

二次根式的“五重点”“三难点”详解五大重点一一攻克1. 二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数例1判断下列式子哪些是二次根式.⑴ 、耳； ⑵35； (3),9； (4)丄5x；(5)•.7?剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根指数是否为2,被开方数整体是否为非负数.解：(1)v被开方数-13是负数匚13不是二次根式。v根指数是3,•35不是二次根式。v被开方数9>0••,9是二次根式。./x可取正数、负数、0； •-5x可取正数、负数、0。即当-5x_0时，•忘是二次根式；当-5x::: 0时，、、示不是二次根式。(5)vx2丄0, •-X2二0，即当x=0时，、、.-X2是二次根式；当x0时，不是二次根式。a（a一0）a（a一0）-a（a：：0）（2）•一-4a3(1)(.a)2=a(a>0) (2) a2=例2化简(1)x21剖析：(a)2=a(a>0)的运用主要看被开方数a整体是否为非负数(1)中X21无论X取何实数恒为正数，故 \X21=X21;运用佇二a={a(a‘0)要特别关注a的正负性。I-a(a");(2) -4a3中由Ta3-0得a岂0,-a-0，所以-4a3=4xa2LI(-a)=2、a2Sa=「2a-a。最简二次根式的概念的运用例3例3在二次根式15453040,3中，最简二次根式有（A.1 B.2C.3D.4）个剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点（1） 被开方数不含分母；（2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例3例3中；怎、、30满足以上两个特点，故15-.30都是最简二次根式；而99和4,故■45»;亍二一40「一「中被开方数分别含有能开得尽方的因数歯5;寸40都不是最简二次根式；护彳=J#中被开方数含分母3,故J2-2不是最简二次根式。故选B°运用二次根式乘除法法则计算或化简例4化简：.24解•原式= 12方_12'24 ' '.解:原式27、6 2「276例5计算：-Vab5f-—Va^bb 2 Vb解:原式=十【3应耳一*需匹9abVob=-9a2Aab'点拨：运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时，一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。二次根式加减法法则的运用例6计算诉2+Jo.5中-JT8解:原式=23辽辽-3云2i3「h-3.2=7乜_5门23 （3丿12丿3 2点拨：运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。、三大难点各个击破1•二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用

例1已知•・X2xxx2,求x的取值范围？剖析：二次根式,a中a的取值范围为a-°,从而0。解：…X32x2_0;•••—x・・x2_0•由图可知：一2•由图可知：一2::a:1,1::b2；〕「1 2 3JC而，x2_0,—x_0即x_0•又x2_0,x_一2•x的取值范围是-2乞xAOo例2数a、b在数轴上的位置如图所示， •二.—3 —10化简：1)2 •.(bAl)2-J(a匚b)2•a1: 0;b-1 0;a-b:0■/(a1) ■(b-1)-•-'■(a-'b)=a+1+|b-1-a-b=-a-1+b-1-(b-a)=-22・逆用二次根式乘除法法则进行化简x_0;y_0)例3计算或化简(1),(-9)(-8)； ⑵•,9x2yx_0;y_0)解:⑴、■、(-9)(-8)二二厢、.8丄32迈=6、，2・9x2y2xy'=.9UX2y2L.(xy)3=3xy(xy)xy(x0;y0)・3-灵活运用二次根式加减乘除混合运算化简求值例4已知x=旺+屆y— ，求x2_xy■y2的值.22解：由题可知Xy=2X2-xy+ y2=(xy)2_3xy=7_3』22J5 5、而所求式子是这点拨:观察发现已知条件 x,y中的于与- 日疋对相反数,两个数的平方和与这两个数的乘积的差，故可由已知转变条件，运用完全平方式简化求值.而所求式子是这栏目名：错题集解二次根式常见错误分类解析一、 审题不清导致错误例1屮6的平方根是 错解： .16的平方根是_4・诊断：错把的平方根当成16的平方根。泯4;正解：一二*6的平方根是±2。二、 化简不彻底，结果不是最简二次根式例2化简J72.错解：原式二・9~8=3.8：而•一而•一8=2、.2正解：原式二：/98=3、.8=32/2=6・._2.或原式二& ?=6、、2.三、分母有理化时，所乘有理化因式可能为0三、分母有理化时，所乘有理化因式可能为0而导致错误例3化简错解：xy=x-y匸-..y•xJy、x-「yx-yx-y诊断：题中只隐含、x•y=0,即x>0,y>0,所以x与y有可能相等。故应分两种情况。x_yx__y正解:(1)当x二y时，原式=0；x_yx__y(2)当x=y时，仝二y=■-X.y四、漏掉括号导致错误例4分母有理化a-2>/a+1错解：原式=a、、a12a1诊断：当一个式子与一个多项式相乘时多项式应注意添括号〜原式=(a+1)硏？—后1正解：原式—五、忽视,a中的隐含条件a>0例5化简壬+JX2.x错解：原式= ■xx2x=X\-xx=',-xxxx诊断：忽略了\二3的隐含条件一X3_0，即x乞0；X2二X成立的条件是x—0；当X乞0时八、X2二…X.正解：由-X3_0,得X冬0；原式=1,-XX2_X=1(-X)、_X_X=__X_X.X X六、在化简XO2时，忽视字母的具体取值而导致错误例6当心时，求「『-2*的值错解：原式=—+J(a一1)2=1+a_1=a=1.aYaaa5诊断：由a=l,得1=5，则a-丄V0,二J(a_・)2=一"a-1]=」5a a\a Ia丿a正解:原式=1+J(a—丄)2=1+1—a —a=10—丄=9?TOC\o"1-5"\h\za\aaaa 5 5七、连用“二”号出错例7已知RtABC中，两条直角边长分别为a=9,b=40,求斜边 c.错解：由勾股定理，C2=a2b2=92402二"1681=41.诊断：运算法则变了，还连用“=”号出错。正解：由勾股定理，c2=a2bA92402=1681;■c—.1681二 41.

八、不管字母正负；滥用积（商）的算术平方根性质而出错例8已知a•b=-2,ab=1,求，：厶乞错解：原式二逅」，卫卫二（a"）、孟_2・abVb<a baab诊断：由ab=1>0,知a,b同号；又a•b--2,.av0,bv0.原式二卫卫」」「a»2・正解：Yb\abaab九、运算顺序不清导致错误例9计算.ab*、■、ax1ia错解：原式二 ,ab*1=•,ab。诊断：忘记乘除是同一级运算，应按从左到右依次计算。解 原式二-・ay丄一1二竺二進。解： VaVaVa例10计算：5-2—3.错解：5-2 ・3=3:丿3=例10计算：5-2—3.错解：5-2 ・3=3:丿3=•、3・诊断:正解:，实数的加减乘除四则运算法则对于二次根式的运算仍然适用，应先算乘除，再算加减。* 2、，3522=515-2,3十、乱用运算律导致错误例11计算,6八.2.错解：原式二，6*+T6*2二、.2■-、30诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。正解：丘一诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。正解：丘一3C二」6_「63—J3+J22-不-忌=3匚-2乜3-2十一、十一、12计算:―、、5-.5-・・7在去括号时出错错解：・5-.5—J-.5——・・7诊断：去括号法则对二次根式仍然适用，括号前面是负号，去括号时括号内的每一项都改变符号。正解：—,5—.7二5—.5 77十二、用公式时出错例13计算：2、、33、22错解：2、3_3&2二23 32 =1218=30诊断：运用兀全干方公式丢项出错。正解：2222.33,22.3 22.33.23.2 1212、618=3012.6。栏目名：期末练兵综合练习题一、选择题（每小题3分，共30分）TOC\o"1-5"\h\z1•下列各式正确的是（ ）-5=.厅.D.-.5八-5)D.£A•'忆二一2;B.（一6-5=.厅.D.-.5八-5)D.£下列各式中属于最简二次根式的是（A.V27 B•亦C・712在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A..3和、、18B.-.3和，，C・、呢和••ab2 D.-、了〒和•.二1.下列根式：①』12x；@4Jm；③730；@Jx2-y2;@J6a3;⑥号，其中最简二次根式是（）A•①③④⑥ B・③④⑥ C•③④⑤⑥ D.②③⑥化简「X5的结果是（）\o"CurrentDocument"A.-X2ixB.-x24xC X2、—%d X2X\52 122的平方根是（）若把3aJ—丄的根号外的弔适当变形后移入根号内，得13D-_13)A.-三B...二C.-D.、.a使等式，：-；二'，三成立的条件是()A.x=5B.x>5C.x>3D.x》3且x工59-若x,y为任意实数，则下列各式的值一定为正数的是()A.|x+51B. y21C.(x-y)2nD.、、.x2y210.已知a-2,ab+b=0(a>0,b>0),则等于()5a-4bTOC\o"1-5"\h\zA. B. C. D.、填空题:(每空2分,共26分)1. 屈的算术平方根是2・-1八的相反数的平方根是 ・1-72的绝对值是 ，它的倒数 号把寻吕吕台连接起来:用“<” 当x 时，J2x-3有意义，若 一x有意义，则x x 当m>n时，£(n_m)2= ;J(V3_2)2= . 如图，化简.苻= 」某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔， 其面积是4八2cm2,它的长为J3cm，则这个孔的宽为 cm.

9•当Kxv3时，J(x—1,x—3=12110•若X3,则」X2X X三、解答题：（共64分）1_1 12八4怎.3「21•计算、化简1_1 12八4怎.3「2_21「1（1）123'433一2丑一6用；⑵(、51)256(、51)256V5+1-2八/5(15II10厂-2007-20071 6_3-迈183-220063-22006(a>0,b>0);2.已知x 2-1'求二11J的值丄6分）3.解不等式和方程（每小题4分共8分）（1） 、2（x-・・3）_、6（x-1） （2）x2-2\N=3.算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值(―11-' ... ——1 )(,20071)213 24 *3 、2007 2006=73-^2,1=73-^2,苗十石1自由下落物体的高度h米与下落的时间t的关系为h二-gt2。有一学生不慎把2一个铁球从19.6米高的楼上自由下落，正好另一学生站在与下落的铁球同一直线的地面上,若在铁球下落的同时楼上的学生惊叫一声，问这时楼下的学生听到惊叫声后能躲开吗？（已知声速为“340米/秒；g=9.8米/秒2.