考研数学一(矩阵及其运算)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．下列命题中不正确的是A．如A是n阶矩阵，则(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)．B．如A，B均是n×1矩阵，则ATB=BTA．C．如A，B均是n阶矩阵，且AB=0，则(A+B)2=A2+B2．D．如A是n阶矩阵，则AmAk=AkAm．正确答案：C解析：(A)中，由乘法有分配律，两个乘积均是A2一E，而(D)是因乘法有结合律，两乘积都是Am+k，故(A)，(D)都正确．关于(B)，由于ATB，BTA都是1×1矩阵，而1阶矩阵的转置仍是其自身，故ATB=(ATB)T=BTA亦正确．唯(C)中，从AB=0还不能保证必有BA=0，例如A=，则AB=，因此，(C)不正确．选(C)．知识模块：矩阵及其运算2．已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列交换得B，再把B的第1列的一2倍加至第3列得C，则满足PA－1=C－1的矩阵P为A．B．C．D．正确答案：B解析：对矩阵A作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘A，故应选(B)．知识模块：矩阵及其运算3．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则QTAQ=A．B．C．D．正确答案：A解析：对矩阵P作一次初等列变换：把第2列加至第1列，便可得到矩阵Q．若记E12(1)=，则Q=PE12(1)．那么QTAQ=[PE12(1)]TA[PE12(1)]=(1)(PTAP)E12(1)所以应选(A)．知识模块：矩阵及其运算4．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=A．kA*．B．kn－1A*．C．knA*．D．k－1A*．正确答案：B解析：由于kA=(kaij)，故行列式｜kA｜的代数余子式按定义为再根据伴随矩阵的定义知应选(B)．知识模块：矩阵及其运算5．设A，B是n阶矩阵，则C=的伴随矩阵是A．B．C．D．正确答案：D解析：由于CC*=｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此应选(D)．另外，作为选择题不妨附加条件A，b可逆，那么知识模块：矩阵及其运算6．设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有A．CBA=E．B．BCA=E．C．BAC=E．D．ACB=E．正确答案：B解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确．由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立．知识模块：矩阵及其运算7．设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B—C=A．E．B．一E．C．A．D．一A．正确答案：A解析：由B=E+AB(E一A)B=EB=(E—A)－1；C=A+CAC(E—A)=AC=A(E—A)－1(或C=AB)．那么B—C=(E一A)－1－A(E—A)－1=(E—A)(E一A)－1=E(或B—C=B—AB=E)．故选(A)．知识模块：矩阵及其运算填空题8．设A，B均是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是__________．正确答案：AB=BA解析：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵．例如而AB对称AB=BTAT=BA．所以应填：AB=BA．知识模块：矩阵及其运算9．设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果则αTβ=___________．正确答案：5解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，注意到αTβ正是矩阵αβT的主对角线元素之和，所以αTβ=1+6+(－2)=5．知识模块：矩阵及其运算10．设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=_________．正确答案：解析：由于A=αβT==2．所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=知识模块：矩阵及其运算11．已知A=，则An=___________．正确答案：解析：由于A=λE+J，其中J=，而进而知J4=J5=…=0．于是知识模块：矩阵及其运算12．已知A=，则An=__________．正确答案：解析：对A分块为则B=3E+J，由于J3=J4=…=0，于是Bn=(3E+J)n=3nE+3n－2J2．而C=(3，－1)，C2=6C，…，Cn=6n－1C，所以知识模块：矩阵及其运算13．设A=，则A2013一2A2012=___________．正确答案：0解析：由于A2013一2A2012=(A一2E)A2012，而A一2E=试乘易见(A一2E)A=0，从而A2013一2A2012=0．知识模块：矩阵及其运算14．已知PA=BP，其中P=，则A2012=__________．正确答案：E解析：因为矩阵P可逆，由PA=BP得A=P－1BP．那么A2=(P－1BP)(P－1BP)=P－1B(PP－1)BP=P－1B2P．归纳地A2012=P－1B2012P．因为，易见B2012=E．所以A2012=P－1EP=E．知识模块：矩阵及其运算15．已知2CA一2AB=C—B，其中A=，则C3=____________．正确答案：解析：由2CA一2AB=C－B得2CA一C=2AB—B．故有C(2A—E)=(2A—E)B．因为2A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)－1．那么C3=(2A—E)B3(2A—E)－1知识模块：矩阵及其运算16．已知A=，则An=___________．正确答案：解析：先求A的特征值与特征向量．由对λ=0，由(0E—A)x=0，解出α1=；对λ=6，由(6E—A)x=0，解出α2=令P=．而A=PAP－1，于是知识模块：矩阵及其运算17．=___________．正确答案：解析：E12=是初等矩阵，左乘A=所得E12A是A作初等行变换(1，2两行对换)，而E122011A表示A作了奇数次的1，2两行对换，相当于矩阵A作了一次1，2两行对换，故而右乘E13是作1，3两列对换，由于是偶数次对换，因而结果不变，即为所求．知识模块：矩阵及其运算18．设A=，(A－1)*是A－1的伴随矩阵，则(A－1)*=__________．正确答案：解析：因为A－1.(A－1)*=｜A－1｜E，有(A－1)*=｜A－1｜A=A．本题｜A｜=6，所以(A－1)*=知识模块：矩阵及其运算19．已知n阶行列式｜A｜=，则｜A｜的第k行代数余子式的和Ak1+Ak2+…+Akn=___________．正确答案：解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦．我们知道，代数余子式与伴随矩阵A*有密切的联系，而A*与A－1又密不可分．对于A用分块技巧，很容易求出A－1．由于又因A*=｜A｜A－1，那么可见Ak1+Ak2+…+Akn=知识模块：矩阵及其运算20．(Ⅰ)已知A=，则(A*)－1=____________．(Ⅱ)已知A=，则A－1=____________．(Ⅲ)设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A一2B，B=，则(A+2E)－1=____________．(Ⅳ)设A=，B=(E+A)－1(E—A)，则(E+B)－1=____________．(Ⅴ)如A3=0，则(E+A+A2)－1=____________．正确答案：解析：(Ⅰ)由AA*=｜A｜E，有(Ⅱ)A=(Ⅲ)由AB=A一2B有AB+2B=A+2E一2E，得知(A+2E)(E－B)=2E，即(A+2E)(E一B)．(Ⅳ)由于B+E=(E+A)－1(E一A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A)=(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－1，故(B+E)－1=(E+A)．(Ⅴ)注意(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E．知识模块：矩阵及其运算解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21．设A=，则A*的值．正确答案：涉及知识点：矩阵及其运算22．已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明A－B2是对称矩阵．正确答案：因为A—B2=A一BB=A+BTB，则有(A一B2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A一B2．所以A一B2是对称矩阵．涉及知识点：矩阵及其运算23．证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵．正确答案：设A=(aij)，B=(bij)都是n阶上三角矩阵．对AB=C=(cij)，按矩阵乘法定义，有cij=ai1b1j+…+aii－1bi－1j+aiibij+aii+1bi+1j+…+ainbnj．由于A是上三角矩阵，则ai1=ai2=…=aii－1=0．因为B是上三角矩阵，当i＞j时，有bij=bi+1j=…=bnj=0．因此，当i＞j时，cij中的每一项都为0，从而cij=0．即AB是上三角矩阵．涉及知识点：矩阵及其运算24．某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调30％的人参加培训，而参加培训的职工中有60％的人结业回岗，假设现有在岗职工800人，参加培训人员是200人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?正确答案：用xi，yi分别表示i年后在岗与脱产职工的人数，x0，y0为目前在岗与脱产的人数，则所以，两年后在岗职工668人，培训人员332人．涉及知识点：矩阵及其运算25．已知A=证明A2=lA，并求l．正确答案：因为A中任两行、任两列都成比例，故可把A分解成两个矩阵相乘，即A=(b1，b2，b3)，那么，由矩阵乘法的结合律，有A2=(b1，b2，b3)．由于(b1，b2，b3)=a1b1+a2b2+a3b3是1×1矩阵，是一个数，记为l，则有A2=lA．涉及知识点：矩阵及其运算26．已知A，B及A，C都可交换，证明A，B，C是同阶矩阵，且A与BC可交换．正确答案：设A是m×n矩阵，由AB可乘，故可设B是n×s矩阵．又因BA可乘，所以m=s．那么AB是m阶矩阵，BA是n阶矩阵．从A和B可交换，即AB=BA，得m=n，即A，B是同阶矩阵，同理，C与A，B也同阶，由结合律，有A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A，所以，A与BC可交换．涉及知识点：矩阵及其运算27．求与A=可交换的矩阵．正确答案：设，则有高斯消元，解出x1=2t+u，x2=2t，x3=t，x4=u．所以为所求．涉及知识点：矩阵及其运算28．已知A=，其中a1，a2，…，an两两不等．证明与A可交换的矩阵只能是对角矩阵．正确答案：设A与A可交换，并对A分别按列(行)分块，记为那么ajaij=aiaij，又因ai≠aj，可见aij=0(i≠j)，即A是对角矩阵．涉及知识点：矩阵及其运算29．已知矩阵A=，求可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．正确答案：对A作初等变换，有涉及知识点：矩阵及其运算30．设A为n阶可逆矩阵，证明：(A*)*=｜A｜n－2A．正确答案：用伴随矩阵A*替换关系式AA*=｜A｜E中的矩阵A，得到A*(A*)*=｜A*｜E．由于｜A*｜=｜A｜n－1，从A可逆知A*可逆．又因(A*)－1=，于是得到(A*)*=｜A*｜(A*)－1=｜A｜n－1.=｜A｜n－2A．涉及知识点：矩阵及其运算31．设A是n阶正交矩阵，证明A*也是正交矩阵．正确答案：由AAT=E，从行列式乘法公式知｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=1．又因A－1=AT，于是A*=｜A｜A－1=｜A｜AT，那么A*(A*)T=｜A｜AT.｜A｜A=｜A｜2ATA=E．类似地(A*)TA*=E．所以，A*是正交矩阵．涉及知识点：矩阵及其运算32．已知A是3阶非零矩阵，且aij=Aij(=1，2，3)，证明A可逆，并求｜A｜．正确答案：因为A是非零矩阵，不妨设a11≠0，那么按第一行展开，并将aij=Aij代入，即有｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=＞0，所以，A可逆．即AT=A*，那么对AA*=｜A｜E两边取行列式，有｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=｜｜A｜E｜=｜A｜3，得｜A｜2(｜A｜－1)=0．从而｜A｜=1．涉及知识点：矩阵及其运算33．求A=的逆矩阵．正确答案：用伴随矩阵(2．10)，得所以A*=涉及知识点：矩阵及其运算34．已知A是n阶对