物理老教学讲解教学课件

出现这样的问题：

若f(z)是区域B内的解析函数，能否找到一个在区域G内解析的解析函数F(z),使得在子区域B内F(z)=f(z).这个问题叫作解析延拓。

简单地说，解析延拓就是想办法将解析函数定义域扩大。

GBF(z)=f(z)

f(z)F(z)从原则上说，可以利用泰勒级数进行解析延拓。

Bf(z)

对于给定的解析函数，并非都能将它的解析域加以扩大。若能将它的解析域加以扩大，那么可以证明，解析延拓是唯一的。

一个定义在实轴上的实变函数f(x)，从复变函数的角度看它显然不是解析函数，它的定义域也不是平面上的区域，但我们也可把它延拓成解析函数f(z)。

例如延拓延拓§3.5洛朗级数展开一、双边幂级数负幂项部分正幂项部分双边幂级数同时收敛收敛收敛域收敛半径收敛域两收敛域有公共部分收敛半径两收敛域无公共部分,则双边幂级数处处发散;结论:.常见的特殊圆环域:...(1)任一幂级数，如果收敛，必在圆域内收敛，且和函数在圆域内解析。(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数。对于双边幂级数，我们已经知道：如果双边幂级数收敛，必在圆环域内收敛，且和函数在圆环域内解析。自然的问题是:在圆环域内解析的函数是否可以能展开成双边幂级数?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:二、洛朗级数展开定理定理

设f(z)在环形区域的内部单值解析，则对环域上任一点z，f(z)可展为幂级数，

(1)其中

积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。

(2)(1)式称为f(z)的洛朗展开，其右端的级数称为洛朗级数。

证明:.将外圆稍稍缩小为，应用复通区域上的柯西公式

内圆稍稍扩大为,(3)(3)思路:将展成以z0为中心的幂级数.对于沿的积分,

(4).对于沿的积分,

.z.(5)将(4)、(5)代入(1)，则

由复连通区域的柯西定理

所以

其中

其中

C为环域内沿逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。

.C

某一圆环域内的解析函数f(z)展开为含有正、负幂项的级数就是f(z)的Laurent级数.且展开式必是唯一的。注意：三、洛朗展开与泰勒展开的区别

泰勒级数

洛朗级数

项数

只含有(z-z0)正幂项

可能含有(z-z0)负幂项

收敛域收敛圆

收敛环

展开中心必须是函数的解析点

既可以是函数的解析点，也可以是函数的奇点

四、举例解析函数展开成洛朗级数要明确展开中心z0、收敛环.理论上应该有两种方法:直接法与间接法

(1)直接展开法利用定理公式计算系数然后写出这种方法只有在找不到更好方法时才用。

根据解析函数Laurent级数展开的唯一性,一般可利用熟知的泰勒展开式，通过变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积分、分解成最简分式等方法去展开.(2)

间接展开法这一方法成为Laurent级数展开的常用方法。

解

例1

在z0=0邻域上的洛朗展开不包含z的负幂项.

例2在的环域上将函数展为洛朗级数。

解

注:展开式中出现无限多个负幂次项，但展开中心

z=0本身却不是函数的奇点.

例3在z0=1的邻域上将函数展为洛朗级数。

解

把有理分式分解成最简分式,于是注:展开式中出现-1次幂项.

例4在z0=0的邻域上把展开。

解

因为把z换成1/z，则得

例5把在奇点z0=0和z0=1的邻域内分别展成洛朗级数。

解

在z0=0的邻域在z0=1的邻域例6把展成下列级数,(1)在上展成

z的泰勒级数;(2)在上展成z的洛朗级数;(3)在上展成(z+1)的泰勒级数;(4)在上展成(z+1)的洛朗级数.解

(1)(2)(3)(4)*展开中心相同，由于展开区域不同，展开式也不同。

给定函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式回答：不矛盾.Laurent展开式是唯一的.问题：这与laurent展开式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性

:指函数在某一个给定的圆环域内的(包括Taylor展开式作为其特例).复数项级数函数项级数充要条件幂级数收敛半径R复变函数性质收敛半径的计算Taylor级数Laurent级数主要内容必要条件绝对收敛收敛条件条件收敛重点：难点：函数展开成Taylor级数与Laurent级数函数展开成Laurent级数§3.6孤立奇点的分类

若函数f(z)在某点z0不可导，则称z0为f(z)的奇点。

若函数f(z)在某点z0不可导，而在z0的某个邻域内除z0外处处可导，便称z0为f(z)的孤立奇点。

若在z0的无论多么小的邻域内总可以找到除z0以外的不可导的点，便称z0为f(z)的非孤立奇点。

主要部分解析部分的系数叫作函数f(z)的奇点z0的留数。

在挖去孤立奇点z0而形成的环域上的解析函数f(z)可展为洛朗级数，

(1)

根据f(z)在孤立奇点z0的领域上的洛朗展开式含负幂项的多少，将孤立奇点分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。

1可去奇点

如果函数f(z)在孤立奇点z0领域内的洛朗展开不含有负幂项，

即

则孤立奇点z0称为函数f(z)的可去奇点。

(2)据(2)为有限值

(a0也可为0)

这可作为可去奇点的判据。

由定义判断:由极限判断：若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.

如果f(z)在孤立奇点z0领域内的洛朗展开无负幂项，则z0为f(z)的可去奇点.如上节例1，z0=0是函数的可去奇点。

在z0=0邻域上的洛朗展开不包含z的负幂项.

或例1说明为的可去奇点.解

所以为的可去奇点.无负幂项另解

的可去奇点.为

虽然f(z)在可去奇点z0不可导或没有意义，但如果我们重新定义函数

则

是g(z)在z0的领域上的泰勒级数，z0是g(z)的解析点，不再是奇点。

如果补充定义:时,那末在解析.是的可去奇点.即2极点

如果函数f(z)在孤立奇点z0领域内的洛朗展开含有有限个负幂项，

即(3)则孤立奇点z0称为函数f(z)的极点。

由(3)显然有

这可作为判断极点的依据。

把(3)式含有最低负幂次(-m)的绝对值m称为该极点的阶。

一阶的极点也简称为单极点.由定义判别：由极限判别：判断

.

如果f(z)在孤立奇点z0领域内的洛朗展开含有有限个负幂项，则z0为f(z)的极点.如上节例5,z0=0和z0=1是函数的单极点.3本性奇点

如果函数f(z)在孤立奇点z0领域内的洛朗展开含有无限多个负幂项，

即(4)则孤立奇点z0称为函数f(z)的本性奇点。

如上节例3，含有无穷多个z的负幂项同时不存在.特点:

在本性奇点的邻域内不存在且不为当z沿正实轴时,

当z沿负实轴时,

综上所述:奇点名称可去奇点m阶极点本性奇点不含负幂项含无限个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为的洛朗级数极限性质4无限远点为孤立奇点的分类

若函数在z=的邻域内解析，则称z=点是

f(z)的孤立奇点。

无限远点都认为是奇点，如果说f(z)在z=解析，是指z=是f(z)的可去奇点。

主要部分解析部分(5)

若此洛朗展开式中没有正幂项，就说函数f(z)在无限远点是解析的或说z=为f(z)的可去奇点；

若有有限个正幂项，则z=为f(z)的极点，

若有无限个