第十章圆锥曲线10 1椭圆及其性质

10.1考点一1.(2013

𝑥2

Ⅱ,5,5C:𝑎2+𝑏2=1(a>b>0)F1,F2,P是C 6答案

3

2

32.(2013,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于1,则C的方程是 2𝑥2

A.3

4

+𝑥2 𝑥2C.4

D.+4答案3.(2013课标Ⅰ,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心PC.(1)C(2)lPM,lCA,BP|AB|.解析由已知得圆MM(-1,0),r1=1;NN(1,0),r2=3.设圆PP(x,y),(1)PMN|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-由椭圆的定义可知,曲线CM、N2,短半轴长为√3

3

=1(x≠-(2)CP(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,R≤2,当且仅当圆P(2,0)所以当圆P的半径最长时,其方(x-若l90°,则ly若l90°,由r1≠Rlxlx则|𝑄𝑃|=𝑅Q(-|𝑄𝑀|由lM|3𝑘|解得4

𝑥2 4

4

x+√2代入+4

=1,7x+8x--解得 7所以|AB|=√1+𝑘2|xx27 74.(2013,20,13M(x,y)l:x=4N(1,0)2(1)MC(2)P(0,3)mCA,BAPBm解析(1)M到直线ld,根据题意,d=2|MN|.由此得|4-x|=2√(𝑥-1)2+𝑥2化简得+4

所以动点M

4

3

(2)解法一:由题意,设直线m的方𝑥2 2y=kx+34

=1(3+4k)x由求 得x+x=-24𝑘,12xx=24 12又因APBx2=2x1,③x=-8𝑘,𝑥2=1213+4𝑘21)可得(-8𝑘2=12,且) k=-3k=3m3或 2解法二:由题意,设直线m的方∵APB1∴x12

2① .22𝑥21

𝑥22+4 42𝑥2=2

𝑥2=-联立①,②,③,④解得𝑦2=

或{𝑦=即点B(2,0)或(-所以直线m3或2考点二5.(2013

𝑥2,9,522=1(a>b>0)PxF1,Ax𝑎半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是 4答案

2

2

2𝑥26.(2013,11,5C:22=1(a>b>0)F,CA、B𝑎AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=4,则C的离心率为 55

7

5

7答案𝑥27.(2013,15,4Γ22=1(a>b>0)F1,F22c.y=√3(x+c)𝑎椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等 答案√3-8.(2013

𝑥2 ,18,1322=1(a>b>0)F,

,过点F且与x𝑎 圆截得的线段长为3(1)·⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗·⃗⃗⃗求k解析(1)F(-c,0),由

(-𝑐)22+𝑎

解得y=±√6b,于是2√6b=4√3,解得b=√2,又a2-c2=b2,从而a=√3,c=1,所以椭圆的 3(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方𝑦=𝑘(𝑥+2 由方程组3

+𝑦2=2

根据根与系数的关系知x+x6𝑘2121xx=3𝑘2-61·⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗·⃗⃗⃗26+2𝑘2+12=8,k=±.2 9.(2013,21,12O,xe=√2,过左焦点F作x121(2)yP,P',P,P'QQ△PP'QSQ(-𝑐)2 2解析(1)A(-c,2)在椭圆上,则𝑎2+𝑏2=1.ee=√2得b2=4=8,a2𝑏2 1- 1-

16(2)Q(x0,0).M(x,y)0|QM|2=(x-x)2+y2=x2-2xx+𝑥2+8(1-𝑥2)=1(x-2x)2-𝑥2+8(x∈[-0

16 设P(x1,y1),由题意,PQx=x1时取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上x=2x时取最小值,从而x=2x|QP|2=8-𝑥2. P'(x1,-y1),故 S=|2y1||x1-x0|