固体物理-金属电子理论课件

第五章金属自由电子论§51Sommerfeld的自由电子论、自由电子模型◆电子在一有限深度的方势阱中运动,电子间的相互作用可忽略不计电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计;电子的填充满足Paui不相容原理;电子在运动中存在一定的散射机制运动方程及其解1.运动方程Ey2其中,U为电子在势阱底部所具有的势能,为简单起见,可选取U=02mE令k有k-v=0方程的解为:(r)=Aik.r其中,A为归一化因子,可由归一化条件确定。ykykdT得:AV为金属的体积。电子的能量:E(h)hexp(认为电子波矢2二、周期性边界条件设金属为一平行六面体,其棱边分别沿三个基矢a1、a2和la3方向,N1、N2和N分别为沿a1、a2和a32方向金属的原胞数,那么,金属中原胞的总数为N=niN2N3周期性边界条件:(r)=v(r+Naa,a=1,2,3i个D认(r+Nxa)exp(ik.Naa)kNhan为整数由于波矢量k是倒易空间中的矢量,可用倒格子基矢表示k=n,b,+n,b,+nb,kNao=(n,b,+,b2+nb).Na2丌nN=2mhh为整数,a=1,2,3kb,+-2b由于h1、h2、h3为整数,可见引入周期性边界条件后波矢k的取值不连续,每一个k的取值代表一个量子态这些量子态在k空间中排成一个态空间点阵,每一个量子态在k空间中所占的体积为b·b2、b3那么,在k空间中,波矢k的分布密度为(k)const8n3)8z这表明,在k空间中,电子态的分布是均匀的,只与金属的体积有关。3.能态密度力2k2n?2E(k)k+k+k2这表明,在k空间中,自由电子的等能面为球面,在能量为E的球体中,波矢k的取值总数为4每一个k的取值确定一个电子能级,若考虑电子自旋根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两个电子。如将每一个自旋态看作一个能态,那么,能量为E的球体中,电子能态总数为Z(E)=2·p(k),zk方3V(2m).E32h定义:能态密度N(E)正=V(2m)2.p}=cCE2丌hV(2m其中由此可见,电子的能态密度并不是均匀分布的,电子能量越高,能态密度就越大。、Fermi-Dirac统计1.量子统计基础知识◆经典的Bomm统计:f(E)=expE◆量子统计:Fermi-Dirac统计和Bose-Einstein统计费米子:自旋为半整数(n+1/2)的粒子(如:电子、质子、中子等),费米子遵从Fermi-Dirac统计规律;玻色子:自旋为整数n的粒子(如:光子、声子等),玻色子遵从BoSe一Einstein统计规律。2.T=0时电子的分布当T=0时,系统的能量最低。但是,由于电子的填充必须遵从Pauli原理,因此,即使在T=0时,电子也不可能全部填充在能量最低的能态上。如能量最低的能态已经填有电子,其他电子就必须填到能量较高的能态上。所以,在k空间中,电子从能量最低的原点开始填起,能量由低到高逐层向外填充,其等能面为球面,直到所有电子都填完为止。由于等能面为球面,所以,在k空间中,电子填充的部分为球