第四章雅可比(微分变换)教学课件

4.1引言（Introduction）微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐标或参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系中力与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化为关节坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题时，也会用到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用。7/20/202314.2微分矩阵（DerivativeMatrixes）

给出一个4×4的矩阵A（5.1）矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下：

（5.2）7/20/202324.3微分平移和旋转变换(DifferentialTranslationandRotation)

微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分变换可表示为（5.3）式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到（5.4）如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结果可表示为（5.5）此时，式中是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；是绕T坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到（5.6）7/20/20233我们用符号来表示式（5.4）和式（5.6）中的并将它称为微分变换算子（5.6）这样式（5.4）和式（5.6）就可写成如下形式（5.7）和（5.8）式（5.7）中的微分变换算子是针对基坐标的，而式（5.8）中的微分变换算子则是针对T坐标的。在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，平移变换矩阵是100a010bTrans(a,b,c)=001c（5.9）00017/20/20234当平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为：100dx010dyTrans(d)=001dz（5.10）0001一般性旋转变换的变换矩阵是:kxkxversθ+cosθkykxversθ-kzsinθkzkxversθ+kysinθ0kxkyversθ+kzsinθkykyversθ+cosθkzkyversθ-kxsinθ0Rot(k,θ)=kxkzversθ-kysinθkykzversθ+kxsinθkzkzversθ+cosθ0(5.11)0

0

01当进行微分旋转变换时，旋转角dθ极小，此时有如下关系:7/20/20235将上述关系代入式（5.11）可得1-kzdθkydθ0kzdθ1-kxdθ0Rot(k,dθ)=-kydθkxdθ10(5.12)0

0

01由式（5.6）可得(5.13)7/20/202364.4微分旋转(DifferentialRotations)

式（5.13）给出的微分变换算子是基于微分旋转角dθ的微分平移和旋转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换。第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为

（5.14）（5.15）（5.16）7/20/20237在微分变换的情况下，sinθ→dθ，conθ→1，上面三个式子变为：（5.17）（5.18）

（5.19）由此可得到

（5.20）7/20/20238比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、z轴分别旋转的结果相同，即（5.21）由此可得到绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换算子为（5.22）

微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即（5.23）（5.24）将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D（5.25）这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算子，或基于T坐标的微分运动矢量的微分变换算子。7/20/20239【例5.1】已知坐标A的变换矩阵为当用微分平移矢量d=1i+0j+0.5k和微分旋转矢量δ＝0i+0.1j+0k对坐标A进行变换时，求出微分变换的结果dA。解：首先，由式（5.22）求出微分变换算子由式（5.7）可得即微分变换结果如图5.1所示。xyzzAyA+dAx图5.1坐标A的微分变换7/20/2023104.5坐标系之间的微分变换

(TransformingDifferentialChangesbetweenCoordinateFrames)上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系之间的微分变换，也就是已知微分变换算子，如何求出T坐标的微分变换算子。由式（5.7）和（5.8）可知：（5.26）则为（5.27）上式是一个重要的表达式，它描述了坐标系之间的微分变换关系。下面我们用微分平移矢量d和微分旋转矢量来推导的表达式。已知变换矩阵T为7/20/202311我们用矢量的叉乘来得到式（5.27）等号右边二项的乘积

（5.29）式中d和分别是微分平移和微分旋转矢量。用左乘式（5.29）可得

（5.30）上式矩阵元素都具有如下矢量三重积形式根据矢量三重积的性质有（5.31）7/20/202312同时，三重积中只要有二个矢量是相同的，其结果为零。如（5.32）根据上述性质，式（5.30）可写成（5.33）对于正交矢量有（5.34）这样，式（5.33）可重写成

（5.35）7/20/202313上式可进一步简化为（5.36）比较式（5.35）和式（5.36）的矩阵元素可得

（5.37）

（5.38）在式（5.37）和式（5.38）中，n、o、a和p是微分坐标变换矩阵T的旋转和平移矢量，和是对应坐标T的微分平移和旋转矢量。7/20/202314式（5.37）和式（5.38）也可用6×6的矩阵形式表示如下（5.39）将上式写成式（5.36）和式（5.37）的形式如下

（5.40）

（5.41）式（5.40）和式（5.41）是后续内容中要经常用到的重要结果。7/20/202315【例5.2】给出与例5.1相同的坐标的变换矩阵、微分平移矢量和微分旋转矢量如下：

d=1i+0j+0.5kδ＝0i+0.1j+0k试求出坐标A上的等效微分变换dA。解：由坐标变换矩阵A可得到相应的旋转与平移矢量由此可求出根据式（5.40）和式（5.41）得到7/20/202316用上述结果来验证坐标A上的等效微分变换dA，由式（5.8）有由已求出的、和式（5.36）可得到则上述结果与例5.1相同。7/20/202317机械手的操作速度与关节的线形变换定义为机械手的雅可比矩阵，可将视为从关节空间向操作空间运动速度的传动比。令机械手的运动方程为：（5.42）代表操作空间x与关节空间q之间的位移关系。将上式两边对时间求导有：（5.43）称为末端在操作空间的广义速度，简称操作速度；为关节速度；是的偏导数矩阵，称为机械手的雅可比矩阵。它的第i行第j列为：（5.44）刚体或坐标系的广义速度是由线形速度和角速度组成的6维列矢量

（5.45）5.6.1雅可比矩阵的定义5.6机械手的微分变换方程——雅可比方程7/20/202318由式（5.45）有：（5.46）代入式（5.43）有：（5.47）含有n个关节的机器人，其雅可比是阶矩阵，前3行代表了对夹手线速度的传递比，后3行代表了对夹手的角速度的传递比，而每一列代表相应的关节速度对于夹手线速度和角速度的传递比。（5.48）

（5.49）（5.50）

7/20/2023195.6.2雅可比矩阵的求法

（1）、矢量积法求解机器人雅可比矩阵的矢量积方法是建立在运动坐标系概念的基础上的，由惠特尼（Whitney）提出的。对于移动关节i，有（5.51）对于转动关节i，有：（5.52）式中，表示夹手坐标原点相对坐标系{i}的位置矢量在基座标系{o}中的表示，即：（5.53）而是坐标系{i}的轴矢量在基坐标系{o}的表示。7/20/202320

（2）微分变换法在第三章我们介绍过，机械手的运动学方程由它的末端相对于基坐标的齐次变换矩阵T6表示，即T6=A1A2A3A4A5A6其中每一个关节变换矩阵Ai描述了该关节坐标相对于前一个关节坐标的变换关系，关节变量用qi表示，如果是旋转关节，关节变量是θi，它是绕前一个关节坐标z轴的旋转角度；如果是滑动关节，关节变量是di，它是沿前一个关节坐标z轴滑动的距离。同样，当我们讨论机械手的微分变换方程时，首先定义微分关节变量为dqi，如果是旋转关节，则为dθi，如果是滑动关节，则为ddi。7/20/202321机械手第i个关节的微分变换引起第6个连杆末端（即机械手末端）的微分变换dT6可由下式表示：（5.54）又有：（5.55）由上面两式可得到机械手末端的微分变换算子（5.56）有：（5.57）

7/20/202322如果关节i是旋转关节，则di=[dx,dy,dz]=0，式（5.40）和式（5.41）变为当，为单位微分旋转矢量时，式（5.47）和（5.48）可进一步简化为此时：式中，n,o,a和p是的四个列矢量。7/20/202323

如果关节i是棱形滑动关节，则δi＝[δx,δy,δz]=0，di=0i+0j+1k，式（5.40）和式（5.41）变为

此时：式中，n,o,a和p是的四个列矢量。7/20/202324雅可比矩阵计算步骤:1、计算各连杆变换2、计算各连杆至末端连杆的变换：3、计算J(q)个各列元素，第i列由决定。图5.2J和T的变换关系1T62T63T64T65T60T11T22T33T44T55T6TJ60T6TJ5TJ3TJ4TJ2TJ17/20/202325PUMA560机器人的雅可比矩阵:微分变换法求J(q)1、的求解

2、的求解7/20/2023263、的求解7/20/2023274、的求解7/20/2023285.7本章小结（Summary）

本章介绍了微分变换的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用。首先我们给出了微分变换矩阵的两种表示方式，即（5.7）和（5.8）其中式（5.7）是针对基坐标的微分变换表达式，式（5.8）是针对T坐标的微分变换表达式。式中的称为微分变换算子，它是针对基坐标的；而则是针对T坐标的。微分变换算子由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即（5.22）7/20/202329式中的微分旋转向量δ的各个分量δx，δy，δz是分别绕基坐标的x、y、z轴旋转的角度，如果微分旋转是绕任意向量k旋转一个微小角dθ，则其对应的各个分量为（5.21）微分变换算子与的转换公式为（5.27）式（5.27）中T是由旋转向量n、o、a和平移向量p组成的齐次变换矩阵，的各个元素可由的元素计算得到，计算公式如下（5.40）

（5.41）根据微分变换的基本原理和方法，我们推导了机械手的末端直角坐标与各关节坐标的微分变换关系和相应的计算方法，这就是所谓的雅可比矩阵和逆雅可比矩阵，并以斯坦福机械手为例，详细说明了该计算方法的具体应用。7/20/2023307/20/2023317/20/202332机器人的感觉

SensesofRobotics4.1传感器的种类4.2触觉信息的获取4.3视觉信息的获取4.4距离信息的获取7/20/202333SensesofRobotics

4.1传感器的种类

1.传感器的分类内部传感器：检测机器人本身状态（手臂间角度等）的传感器。外部传感器：检测机器人所处环境（是什么物体，离物体的距离有多远等）及状况（抓取的物体滑落等）的传感器。外部传感器分为末端执行器传感器和环境传感器。末端执行器传感器：主要装在作为末端执行器的手上，检测处理精巧作业的感觉信息。相当于触觉。环境传感器：用于识别物体和检测物体与机器人的距离。相当于视觉。7/20/202334SensesofRobotics

4.1传感器的种类

2.内部状态的感觉（1）位置传感器典型的传感器是电位计。检测的是以电阻中心为基准位置的移动距离。E：输入电压L：最大移动距离触头X：向左端移动的距离E：电阻右侧的输出电压7/20/202335SensesofRobotics

4.1传感器的种类

2.内部状态的感觉（1）位置传感器另有光电传感器。7/20/202336SensesofRobotics

4.1传感器的种类

2.内部状态的感觉（2）角度传感器回转式编码器。7/20/202337SensesofRobotics

4.1传感器的种类

3.外部状态的感觉（1）物体识别传感器典型的是视觉传感器。如摄像机。视觉是利用光（机器人可用红外线等）的非接触方式。触觉也能识别物体。机器人可以用触觉传感器来实现这种机能。（2）物体探测传感器视觉传感器是一种识别物体而且知道其存在的传感器。例如光电开关。视觉传感器、光电开关和超声波传感器，即使物体较远也能探测其存在。7/20/202338SensesofRobotics

4.1传感器的种类

3.外部状态的感觉（3）极近物体探测传感器探测非常近的物体存在的传感器称为接近传感器。7/20/202339SensesofRobotics

4.1传感器的种类

3.外部状态的感觉（4）距离传感器超声波做距离传感器。可用于鱼群探测、金属内部探伤等方面。（5）力觉传感器力觉传感器是检测力和力矩的施加地点大小方向三个量的传感器。力的检测主要是用电阻应变片。7/20/202340SensesofRobotics

4.1传感器的种类

3.外部状态的感觉（6）其他传感器利用声波：语音识别传感器。分析振动声音探测机械故障的点传感器。热传感器：点检传感器。通过分析敲打的声音测定果品成熟程度的传感器。根据近红外线的糖度吸收程度测定水果甜度的传感器。7/20/202341SensesofRobotics

4.2触觉信息的获取

1.接触觉传感器接触觉传感器：探测是否接触到物体，传感器接受由于接触产生的柔量。微动开关：按下开关就能进入电信号的简单机构。猫胡须传感器：如图a,b7/20/202342SensesofRobotics

4.2触觉信息的获取

2.压觉传感器压觉传感器：检测物体同手爪间产生的压力和力以及其分布情况。利用压电元件或弹簧。如图是使用弹簧的平面传感器。7/20/202343SensesofRobotics

4.2触觉信息的获取

3.滑觉传感器检测垂直加压力方向的力和位移。7/20/202344SensesofRobotics

4.2触觉信息的获取

4.力觉传感器力觉传感器主要利用电阻应变片。原理：金属丝拉伸时电阻变大。7/20/202345SensesofRobotics

4.3视觉信息的获取

1.PSD（positionsensitivedevice）传感器PSD传感器：当光束照射到1维的线和2维的平面时，检测光照射的位置。L：电极1与电极2的距离。I1：流过电极1的电流。I2：流过电极2的电流。X：光照射点与电极1的距离。7/20/202346SensesofRobotics

4.3视觉信息的获取

2.视觉传感器机器人通过摄像机以图像的形式获得环境的信息。（1）CCD(chargecoupleddevice)传感器。CCD阵列，二维扫描，对表示灰度的电压采样，二值数字化处理。每一定时间间隔扫描一遍。7/20/202347SensesofRobotics

4.3视觉信息的获取

2.视觉传感器（2）图像的投影O：原点，透镜中心。Z轴：光轴，摄像机的前方。xy轴：组成图像面。P点：物体上一点。p点：P在图像面上的投影。7/20/202348SensesofRobotics

4.3视觉信息的获取

2.视觉传感器（2）图像的投影物点的空间坐标变为计算机图像的数字坐标，经过了三个变换。空间坐标的物点变换到摄像机坐标系；摄像机坐标下的物点映射到摄像机的CCD面，满足三角几何关系；CCD面上的实际图像坐标变换到计算机图像坐标。设（xW,yW,zW）为三维世界坐标系中物点P的三维坐标，（x,y,z）是同一点P在摄像机坐标系中的三维坐标，（XU,YU）是P点在理想小孔摄像机模型下CCD面上的投影坐标，该投影在计算机中图像坐标（Xf,Yf）的单位是像素（pixels）。则有如下关系：7/20/202349Sen