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第五章留数By付小宁函数在圆环域内的洛朗展开式为第五章留数By付小宁第一节孤立奇点、孤立奇点的概念定义如果函数∫(x)在x不解析,但∫(z)在z的某一去心邻域0<z-x0<8内处处解析则称x0为f(x)的孤立奇点例1z=0是函数e2,x的孤立奇点z=-1是函数z+1的孤立奇点例2指出函数f(x)=1在点z=0的奇点特性SIn解函数的奇点为z=0,z(毳=±1,土2,…)因为limt=0,k→∞π即在z=0的不论怎样小的去心邻域内,总有f(z)的奇点存在,所以z=0不是孤立奇点.函数在孤立奇点以外的奇点称为非孤立奇点第一节孤立奇点、孤立奇点的概念定义如果函数∫(x)在x不解析,但∫(z)在z的某一去心邻域0<z-x0<8内处处解析则称x0为f(x)的孤立奇点例1z=0是函数e2,x的孤立奇点z=-1是函数z+1的孤立奇点例2指出函数f(x)=1在点z=0的奇点特性SIn解函数的奇点为z=0,z(毳=±1,土2,…)因为limt=0,k→∞π即在z=0的不论怎样小的去心邻域内,总有f(z)的奇点存在,所以z=0不是孤立奇点.函数在孤立奇点以外的奇点称为非孤立奇点孤立奇点的分类依据∫(x)在其孤立奇点z0的去心邻域0<z-x0<8内的洛朗级数的情况分为三类1.可去奇点;2.极点;3.本性奇点1.可去奇点1定义如果洛朗级数中不含x-z0的负幂项那末孤立奇点x称为f(x)的可去奇点说明:(1)x若是f(z)孤立奇点∫(z)=co+c1(z-x)+…+cn(z-z0)"+<δ)其和函数F(z)为在z解析的函数(2)无论∫(z)在z是否有定义,补充定义f(za)=co,则函数∫(z)在zo解析.zo)=limf(z)f(z)F(z),z≠zx→<02)可去奇点的判定(1)由定义判断:如果f(x)在x0的洛朗级数无负幂项则x为∫(z)的可去奇点(2)判断极限lim∫(z):若极限存在且为有限值,则zn为f(z)的可去奇点2.极点1)定义如果洛朗级数中只有有限多个x-z0的负幂项,其中关于(x-x)的最高幂为(x-x0)",即f(z)=cn(z-xn)+…+c2{z-zn)2+c1{z-zn)+co+c1(z-x0)+…(m≥1,cm≠0)或写成f(z)=g(z)(z-30那末孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点说明:(1)g()=c_m+(z-z0)+C00特点:1.在z-z0<8内是解析函数2.g(x0)≠0(2)如果z0为函数∫(z)的极点,则lim

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