误差的合成与分配

误差的合成与分配第1页，课件共54页，创作于2023年2月教学目标本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。第2页，课件共54页，创作于2023年2月重点和难点函数系统误差函数随机误差函数误差分布的模拟计算随机误差的合成未定系统误差和随机误差的合成误差分配微小误差取舍准则最佳测量方案的确定第3页，课件共54页，创作于2023年2月间接测量

函数误差

间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差

通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量第一节函数误差第4页，课件共54页，创作于2023年2月一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型

与被测量有函数关系的各个直接测量值

y

间接测量值求上述函数y

的全微分，其表达式为：第5页，课件共54页，创作于2023年2月和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由y的全微分，函数系统误差的计算公式为各个输入量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差第6页，课件共54页，创作于2023年2月几种简单函数的系统误差

1、线性函数2、三角函数形式

系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和第一节函数误差第7页，课件共54页，创作于2023年2月【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm

，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,玄长的系统误差h=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型

不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值第一节函数误差第8页，课件共54页，创作于2023年2月车间工人测量弓高h、弦长l

的系统误差

直径的系统误差:故修正后的测量结果:

计算结果：误差传递系数为:第一节函数误差第9页，课件共54页，创作于2023年2月二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式得到即：可得：第10页，课件共54页，创作于2023年2月函数标准差计算

或第i个直接测得量的标准差第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数第i个测量值和第j个测量值之间的协方差第i个直接测得量对间接量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差第11页，课件共54页，创作于2023年2月或相互独立的函数标准差计算

若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项令第一节函数误差则当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式第i个直接测得量的极限误差第12页，课件共54页，创作于2023年2月1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：第一节函数误差2）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：三角函数标准差计算与随机误差公式3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：4）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：第13页，课件共54页，创作于2023年2月【解】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm

，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,玄长的系统误差h=-1mm。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知：，有修正后的测量结果

第一节函数误差第14页，课件共54页，创作于2023年2月相关系数对函数误差的影响

反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数时当相关系数时2、相关系数估计第一节函数误差第15页，课件共54页，创作于2023年2月相关系数的确定可判断的情形断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关1、直接判断法第一节函数误差第16页，课件共54页，创作于2023年2月可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关第一节函数误差2、试样观察法和简略计算法

（1）观察法第17页，课件共54页，创作于2023年2月第一节函数误差

（2）简单计算法其中，n2n3n4n10

（3）直接计算法根据的多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数、分别为、的算术平均值

（4）理论计算法第18页，课件共54页，创作于2023年2月第二节随机误差的合成任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响随机误差的合成形式包括：第19页，课件共54页，创作于2023年2月一、标准差合成合成标准差表达式:

q个单项随机误差，标准差

误差传播系数

由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和第二节随机误差的合成第20页，课件共54页，创作于2023年2月当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形第二节随机误差的合成若各个误差互不相关，即相关系数则合成标准差用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量第21页，课件共54页，创作于2023年2月二、极限误差合成

单项极限误差:

单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差:

合成标准差合成极限误差的置信系数第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式第22页，课件共54页，创作于2023年2月根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、

不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第二节随机误差的合成ij为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：第23页，课件共54页，创作于2023年2月当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式第二节随机误差的合成时：此时第24页，课件共54页，创作于2023年2月第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：合成方法：按照代数和法进行合成i为第i个系统误差，ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除第25页，课件共54页，创作于2023年2月二、未定系统误差的合成

第三节系统误差合成（一）未定系统误差的特征及其评定定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围e的系统误差特征：1）在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。表示符号：

极限误差：e

标准差：u第26页，课件共54页，创作于2023年2月1、标准差合成第三节系统误差合成（二）未定系统误差的合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即克可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为u1，u2，……，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，……，as

，则合成后未定系统误差的总标准差u为:第27页，课件共54页，创作于2023年2月则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，ij

为第i个和第j个误差项的相关系数第三节系统误差合成当ij=0时2、极限误差的合成因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：第28页，课件共54页，创作于2023年2月第三节系统误差合成或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即，则上式可简化为：第29页，课件共54页，创作于2023年2月第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成

误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准差形式合成。测量过程中，假定有r

个单项已定系统误差，s

个单项未定系统误差，q

个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。第30页，课件共54页，创作于2023年2月当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2、n

次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总极限误差变为：第31页，课件共54页，创作于2023年2月第四节系统误差与随机误差的合成二、按标准差合成

测量过程中，假定有s

个单项未定系统误差，q

个单项随机误差，它们的标准差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。第32页，课件共54页，创作于2023年2月当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：2、n

次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。第四节系统误差与随机误差的合成总极限误差变为：第33页，课件共54页，创作于2023年2月【例】在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为，，已知工件的和高度为，求测量结果及其极限误差。第四节系统误差与随机误差的合成序号123456误差因素极限误差随机误差未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差－－－－0.81－－0.50.351.251未修正时计入总误差修正时计入总误差根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。第34页，课件共54页，创作于2023年2月【解】两次测量结果的平均值为:根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在50mm范围内的误差=-0.0008mm

，此项误差为已定系统误差，应予修正。则测量结果为：第四节系统误差与随机误差的合成在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差分析如下：1、随机误差由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为第35页，课件共54页，创作于2023年2月

1）读数误差：

2）瞄准误差：第四节系统误差与随机误差的合成2、未定系统误差由阿贝误差等引起，其极限误差分别为

1）阿贝误差：

2）瞄准误差：

3）温度误差：

4）光学刻度尺的检定误差：第36页，课件共54页，创作于2023年2月第四节系统误差与随机误差的合成3、计算测量值及其误差计算测量值的误差时有两种方法：方法1当未修正光学刻尺刻度误差时测量结果可表示为：方法2当已修正光学刻尺刻度误差时

第37页，课件共54页，创作于2023年2月【例】用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量，求测量结果的标准差。第四节系统误差与随机误差的合成(1)随机误差:天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为(2)未定系统误差:标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。①砝码误差:天平称量时所用的标准砝码有三个，即的一个，的两个，标准差分别为:故三个砝码组合使用时，质量的标准差为根据TC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：第38页，课件共54页，创作于2023年2月②天平示值误差该项标准差为:第四节系统误差与随机误差的合成三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为最后测量结果应表示为（１倍标准差）：第39页，课件共54页，创作于2023年2月第五节误差分配误差分配

给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：若已经给定，如何确定Di或相应的i,使其满足式中，称为部分误差，或局部误差第40页，课件共54页，创作于2023年2月一、按等影响原则分配误差等影响原则：各分项误差对函数误差的影响相等，即由此可得：或用极限误差表示：函数的总极限误差各单项误差的极限误差第五节误差分配进行误差分配时，一般应按照下述步骤：第41页，课件共54页，创作于2023年2月二、按可能性调整误差

(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性

(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。第五节误差分配第42页，课件共54页，创作于2023年2月

测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径D

及高度

h，根据函数式三、验算调整后的总误差

误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。第五节误差分配【例】求得体积V，若要求测量体积的相对误差为1％，已知直径和高度的公称值分别为，试确定直径D及高度h的准确度。第43页，课件共54页，创作于2023年2月一、按等影响分配原则分配误差得到测量直径D

与高度h的极限误差:第五节误差分配【解】计算体积体积的绝对误差:第44页，课件共54页，创作于2023年2月用这两种量具测量的体积极限误差为

因为查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高，在50mm测量范围内的极限误差为，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为。第五节误差分配二、调整后的测量极限误差

显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。第45页，课件共54页，创作于2023年2月调整后的实际测量极限误差为因为因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。第五节误差分配第46页，课件共54页，创作于2023年2月微小误差

测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差。已知测量结果的标准差：若将其中的部分误差取出后，则得

如果，则称为微小误差

第六节微小误差取舍准则第47页，课件共54页，创作于2023年2月测量误差的有效数字取一位：

某项部分误差舍去后，满足：或则对测量结果的误差计算没有影响。

测量误差的有效数字取二位：

或对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。

第六节微小误差取舍准则某项部分误差舍去后，满足：应用：

计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不靠率该项误差对总误差的影响。选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许误差的1/10～3/10。第48页，课件共54页，创作于2023年2月最佳测量方案的确定：当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。函数的标准差为：

欲使为最小，可从哪几方面来考虑？

第七节最佳测量方案的确定考虑因素：因为已定系统误差可以通过误差修正的方法来消除，所以设计最佳测量方案时，只需考虑随机误差和未定系统误差的影响。研究对象和目标：第49页，课件共54页，创作于2023年2月一、选择最佳函数误差公式间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含直接测量值最小的函数公式。不同的数学公式所包含的直接测