2021-2022学年河北省廊坊市第一实验中学高三数学文联考试题含解析

2021-2022学年河北省廊坊市第一实验中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在上有零点的函数是A．

B．[C．

D．参考答案：D2.函数的图象如下图所示，为了得到的图像，可以将的图像

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：B故选B3.若方程的根在区间上，则的值为（

）A．

B．1

C．或2

D．或1参考答案：B略4.已知曲线与函数及函数的图像分别交于，则的值为（）A．16

B．8

C．4

D．2参考答案：C略5.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0，f（2）=，则不等式f（lgx）＜+4的解集为（）A．（10，100） B．（0，100） C． D．（1，100）参考答案：D【分析】令g（x）=f（x）﹣，求出函数的导数，问题转化为g（lnx）＜g（2），求出x的范围即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）+＞0，g（x）在（0，+∞）递增，而g（2）=f（2）﹣=4，故由f（lgx）＜+4，得g（lnx）＜g（2），故0＜lnx＜2，解得：1＜x＜100，故选：D．6.已知f（x）=3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线对称，则f（x）在以下区间上是单调函数的是(

)A．[﹣π，﹣π] B．[﹣π，﹣π] C．[﹣π，π] D．[0，π]参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由题意知：y=3sin2x+acos2x=sin（2x+φ），当x=时函数y=3sin2x+acos2x取到最值±，将x=代入可得：3sin（2×）+acos（2×）==±，解得：a=，故f（x）=3sin2x+cos2x=2sin（2x+），由于[﹣π，﹣π]∈[﹣，﹣]，根据正弦函数的图象可知函数在[﹣π，﹣π]上是单调递减的，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，考查了三角函数的单调性，属于中档题．7.设复数Z满足（2+i）·Z=1－2i3，则复数对应的点位于复平面内

（

）A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限参考答案：A略8.某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．80参考答案：B【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为×20=2，设C组总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为==，即m（m﹣1）=90，解得m=10．设总体中员工总数为x，则由==，可得x=100，故选：B．9.已知各项均为正数的等差数列{an}的公差为2，等比数列{bn}的公比为-2，则（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由已知求得等比数列{bn}的通项公式，作比即可得到．【详解】∵等差数列{an}的公差为2，数列{bn}是公比为﹣2的等比数列，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．10.已知函数有三个不同的实数根，则实数的取值范围

（）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算某项税率，需用公式。现已知的展开式中各项的二项式系数之和是64，用四舍五入的方法计算当时的值，若精确到，其千分位上的数字应是

参考答案：3

12.已知复数是纯虚数，那么实数a=_______.参考答案：－113.已知等差数列{an}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9=

．参考答案：45考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由数列{an}为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a7=2a5，由a3+a7的值，求出a5的值，然后利用等差数列的求和公式表示出数列的前9项和S9，利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．解答： 解：∵数列{an}为等差数列，∴a3+a7=2a5，又a3+a7=10，∴2a5=10，即a5=5，则该数列的前9项和S9==9a5=45．故答案为：45点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．14.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为

参考答案：略15.将函数的图像向右平移个单位后得到函数_________的图像参考答案：y=3sin3x略16.若数列满足，则数列的前8项和为▲.参考答案：2817.已知点在所在平面内，且则取得最大值时线段的长度是

▲

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.命题p：关于x的不等式，对一切恒成立；命题q：函是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．参考答案：解:为真：,

为真：

因为或为真，且为假，

p,q一真一假当p真q假时，

当p假q真时，

的取值范围为略19.已知数列的前n项和（n为正整数）。（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。参考答案：（I）在中，令n=1，可得，即当时，.

又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.(II)由（I）得，所以由①-②得

于是确定的大小关系等价于比较的大小由

可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时20.（本题12分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且

．(1)求与；(2)若，求数列的前项和．参考答案：(2)当为奇数时，共项，构成等差数列，首项为，公差为，共项，构成等比数列，首项为，公比为，所以当为偶数时，易知21.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．参考答案：考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵，∴在Rt△DHE中，EH=x，．∴．∴．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣