福建省泉州市南安恩惠中学高三数学理联考试题含解析

福建省泉州市南安恩惠中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，,则A． B． C． D．

参考答案：B

：因为集合，即，又因为，所以，故选B.2.已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（3，7） B．（3，9） C．（5，7） D．（5，9）参考答案：C【考点】平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．【解答】解：向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（5，7）．故选：C．【点评】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．3.设函数,已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,有下述四个结论：①f(x)在恰好有3次取到最大值

②f(x)在恰好有2次取到最小值③f(x)在单调递增④的取值范围是其中所有正确结论的编号是（

）A.①③④ B.②④ C.①④ D.①③参考答案：A【分析】结合三角函数的性质,对选项逐个分析,可得到答案.【详解】当时,,因为在有且仅有5个零点,所以,解得,故④正确;因为,,所以当取值为或或时,取得最大值,即①正确;当取值为或或时,取得最小值,但是,显然不一定能取到,即在有2次或3次取到最小值,故②不正确;当时,,若在单调递增,则,解得,又因为,所以在单调递增,即③正确;故选:A.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,考查了学生的推理能力,属于中档题.4.设向量，若，则等于A. B. C. D.3参考答案：5.7．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则

（）A．

B．

C．2

D．4参考答案：C6.已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是

A．（15，+∞)

B．[15，+∞)

C．（－∞，6）

D．（－∞，6

参考答案：B7.设是等差数列的前项和，若，，则（

）A．2016

B．2017

C．-2015

D．-2018参考答案：B8.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（

）A. B.

C.

D.参考答案：A9.已知梯形ABCD中，，，且，，，若点Q满足，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由已知，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，又，所以所以，故选D.2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（

）（A）棱柱

（B）棱台（C）圆柱

（D）圆台参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A（1，y1），B（9，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，y2＞y1＞0，点F是它的焦点，若|BF|=5|AF|，则y12+y2的值为．参考答案：10【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义：|BF|=9+，|AF|=1+，根据题意可知求得p，代入椭圆方程，分别求得y1，y2的值，即可求得y12+y2的值．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）焦点在x轴上，焦点（，0），由抛物线的定义可知：|BF|=9+，|AF|=1+，由|BF|=5|AF|，即9+=1+，解得：p=2，∴抛物线y2=4x，将A，B代入，解得：y1=2，y2=6，∴y12+y2=10，故答案为：10．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线方程的应用，属于中档题．12.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线和曲线的公共点有_______个.参考答案：【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程.N3

【答案解析】

解析：直线的普通方程为，圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以直线和曲线相切，公共点只有个.故答案为1.【思路点拨】把参数方程极坐标方程分别化成普通方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离与半径的关系即可得出。13.设，，则

．参考答案：－2试题分析：由，则.考点：1.定积分；2.两角和的正切公式；14.在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。参考答案：；本题考查了同角三角函数的关系与正弦定理，容易题．由，在三角形中可得；再由正弦定理有：，即，可得．15.已知x，y满足约束条件的最小值是

参考答案：16.正三角形中是上的点，，则_________.参考答案：1417.已知四而体ABCD的顶点都在球O的球面上，AD=AC=BD=2，CD=2,BDC=90平面ADC平面BDC，则球O的体积为_______．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．（1）当m＝12时，求a2010；（2）若a52＝，试求m的值；（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案：解（1）m＝12时，数列的周期为24．∵2010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项，∴a2010＝a18＝a12＋6＝．（2）设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝．∵，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．∴a52最多是第三个周期中的项．若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝．∴m＝52－7＝45；若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝．∴3m＝45，m＝15；若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝．∴5m＝45，m＝9；综上，m＝45，或15，或9．（3）2m是此数列的周期，∴S128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和．∴S2m最大时，S128m＋3最大．∵S2m＝，当m＝6时，S2m＝31－＝；当m≤5时，S2m＜；当m≤7时，S2m＜＝29＜．∴当m＝6时，S2m取得最大值，则S128m＋3取得最大值为64×＋24＝2007．由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立．略19.已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；不等关系与不等式．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax2+bx﹣lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；（Ⅱ）由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与﹣2b的大小构造函数g（x）=2﹣4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）知f′（x）=2ax+b﹣又a≥0，故当a=0时，f′（x）=若b≤0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数、所以函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax2+bx﹣1=0由于△=b2+8a＞0，故有x2=，x1=显然有x1＜0，x2＞0，故在区间（0，）上，导数小于0，函数是减函数；在区间（，+∞）上，导数大于0，函数是增函数综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故=1整理得2a+b=1，即b=1﹣2a令g（x）=2﹣4x+lnx，则g′（x）=令g′（x）==0得x=当0＜x＜时，g′（x）＞0，函数单调递增；当＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减因为g（x）≤g（）=1﹣ln4＜0故g（a）＜0，即2﹣4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜﹣2b点评：本题是函数与导数综合运用题，解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性及根据所比较的两个量的形式构造新函数利用最值建立不等式比较大小，本题考查了创新探究能力及转化化归的思想，本题综合性较强，所使用的方法具有典型性，题后应做好总结以备所用的方法在此类题的求解过程中使用．20.（本题满分12分）如图所示，在矩形中，的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求二面角E-AP-B的余弦值.参考答案：解析：（1）……1分取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC因为PB=PC

∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF……3分从而BC⊥PO…………5分，又BC与PO相交，可得PO⊥面ABCE………6分（2）作OG∥BC交AB于G，∴OG⊥OF如图，建立直角坐标系A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），P（0，0，）…7分设平面PAB的法向量为同理平面PAE的法向量为……10分二面角E-AP-B的余弦值为…12分