高中数学-均值不等式及其应用教学课件设计

均值不等式及其应用学习目标1.掌握均值不等式及证明过程，会用均值不等式解决最值问题；2.通过合作交流，探究均值不等式应用的规律和方法；3.用心感受，体验均值不等式与生活的联系。ICM2002会标如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。问题：如果设其中一个小直角三角形的两直角边分别为a,b,那么这四个直角三角形的面积之和与这个正方形的面积满足怎样的一个不等关系呢？内容及目标：1.均值不等式的内容及成立的条件；2.均值不等式的变形有哪些？3.其与重要不等式的区别；要求：（1）可以采用一对一、一对多等多种形式。（2）讨论时，手不离笔、随时记录，争取在讨论时就能将问题解决，未解决的问题记下来，准备质疑。（3）积极展示。

合作探究2、两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数算术平均数几何平均数3、两个正数的等差中项不小于它们的等比中项（一）均值不等式1、如果,那么，当且仅当a=b时，等号成立。（二）均值不等式的几何解释ABCDE1、如图,AB是圆的直径，C是AB上与A、B不重合的一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD=＿＿,半径=＿＿＿＿ab半弦不大于半径２、从这个图形中可以得出基本不等式这就是其几何解释。

O（三）均值不等式的变形及重要不等式的区别与联系变形：重要不等式：区别与联系：（1）都是不等式，两个不等式成立的条件是不同的，均值不等式的条件都是正实数，而重要不等式的条件是实数。（2）等号成立的条件都是a=b，但其实质不同。（3）都可以用来求最值。例题1：已知ab>0,求证：，并推导出式中等号成立的条件。练习：判断正误成立的条件：a+b或ab有一个是定值等号成立的条件（1）（2）（3）不正确不正确不正确使用时应注意哪些问题呢？因为，所以最小值为。

利用均值不等式证明不等式或求函数最值时应注意的问题：1、两个数或式子都是正数；2、求积的最大值时，应看两者之和是不是定值；求和的最小值时，应看两者之积是否为定值；3、等号是否能够成立；以上三点可以简记为“一正（前提）、二定（方向）、三相等（保证）”（2）规律两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。（1）用一段篱笆围成矩形花圃的面积为100，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）用长为36m的一段篱笆围一个矩形花圃

，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？思考：

例2:已知x>2,则的最小值是()归纳提升：在利用均值不等式求两数和的最值时，若“一正、二定、三相等”中的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式．转化的方法有添项、拆项、凑项、变号等．例3：已知x＞0，y＞0，且，求x＋y的最小值.解方法一：(1的代换)因为，所以因为x＞0，y＞0，所以≥2＝6.当且仅当，即y＝3x时，取等号.又，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16.所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.方法二：(消元法)由，得x=.因为x＞0，y＞0，所以y＞9.x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10.因为y＞9，所以y－9＞0，所以y－9＋≥2＝6.当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号，此时，x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.（1）根据已知条件确定定值；（2）把确定的定值变形为1；（3）然后把1的表达式与所求最值的表达式相乘除，构造成和与积的形式；（4）最后利用均值不等式求解最值。归纳提升：常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：练习：设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值为________.解析：由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0，得。所以x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝18.当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立.所以x＋y的最小值是18.（一）知识方面“一正（前提）、二定（方向）、三相等（保证）”2、重要不等式和均值不等式的变形总结提升（二）数学思想与方法方面：1、均值不等式及其成立的条件。4、均值不等式的规律两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。分类讨论数形结合3、均值不等式求函数最值的条件当堂检测1、函数的值域是（）

ABCDR2、已知，则函数的最小值为

，相