福建省泉州市惠华中学高三数学理下学期摸底试题含解析

福建省泉州市惠华中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，则A∩B=(

)A. B.{3} C.{3,5} D.{1,3,5}参考答案：C【分析】用列举法表示集合，然后求出.【详解】因为所以，故选C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，本题也可以这样解：就是求集合中大于1的自然数，即故，所以.2.下列命题中，真命题是(

)A．存在 B．是的充分条件C．任意 D．的充要条件是参考答案：B3.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A． B．4 C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是由三棱柱截得的，代入体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是由三棱柱截得的，如图所示，故体积V==，故选：C．4.函数的图象可能是下面的图象(

)A. B. C. D.参考答案：C因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．5.已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣cosπx在区间[0，8]内所有零点的和为（）A．16 B．30 C．32 D．40参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】在同一个坐标系中作出函数f（x）和y=cosπx的图象，由图象的局部对称可得结果．【解答】解：当0≤x≤1时，f（x）=x，当1＜x＜2时，f（x）=﹣x+2，当2≤x≤3时，f（x）=3f（x﹣2）=3（x﹣2），当3＜x＜4时，f（x）=3f（x﹣2）=3[﹣（x﹣2）+2]=﹣3（x﹣4），当4≤x≤5时，f（x）=3f（x﹣2）=3（3x﹣6）=9（x﹣2），当5＜x＜6时，f（x）=3f（x﹣2）=﹣9（x﹣6），当6≤x≤7时，f（x）=3f（x﹣2）=27（x﹣6），当7＜x≤8时，f（x）=﹣27（x﹣8），在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=cosπx的图象，如图：

由图可知点A，B关于x=1对称，点C，D关于x=3对称，点E，F关于x=5对称，点G，H关于x=7对称，设A，B，C，D，E，F，G，H的横坐标分别为a，b，c，d，e，f，g，h，则a+b=2，c+d=6，e+f=10，g+h=14，∴a+b+c+d+e+f+g+h=32．故选：C．6.已知函数，当时，恒有

成立，则实数的取值范围（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器（无盖），底面棱长为1dm（dm为分米），高为5dm，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为3dm和4dm，则（水不外漏情况下）此容器可装的水最多为（）A．dm3

B．4dm3 C．dm3 D．3dm3参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，容器可装的水最多时，水面位置为平行四边形ABCD，上面补同样大的几何体，则体积可求．【解答】解：由题意，容器可装的水最多时，水面位置为平行四边形ABCD，上面补同样大的几何体，则体积==，故选：C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，是基础题．8.已知实数则“”是“”的 （

） A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条参考答案：A略9.已知复数，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A10.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D结合所给选项逐一考查函数的性质：A.，函数为非奇非偶函数，在定义域内单调递增，不合题意；B.，函数为非奇非偶函数，在定义域内单调递减，不合题意；C.，函数为奇函数，在定义域内单调递增，不合题意；D.，函数为奇函数，在定义域内单调递减，符合题意；本题选择D选项.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线的焦点为F,E为y轴正半轴上的一点．且（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点，其中，使过点M的切线，则切线l在y轴上的截距为_______．参考答案：-1【分析】先对函数求导，求出抛物线在点处的切线斜率，再根据，得到点坐标，由过点的切线，求出点坐标，进而可得切线方程，即可求出结果.【详解】因为抛物线方程可化为，所以，因此抛物线在点处的切线斜率为；又为抛物线的焦点，所以；因为为轴正半轴上一点，且，所以，所以，因为过点的切线，所以，解得，因为在抛物线上，所以，因此；所以切线方程为或，即，因此切线在轴上的截距为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.12.平面，，两两垂直且交于一点O，若空间有一点P到这三个平面的距离分别是3、4、12则点P到点O的距离为________．参考答案：.试题分析：由题意得，点到点的距离为，故填：.考点：立体几何中的距离.已知，均为锐角，且，，则

，=

．

【答案】，.【解析】考点：三角恒等变形.【方法点睛】熟知一些恒等变换的技巧：①公式的正用、逆用及变形用；②熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如，，是的半角，是的倍角等；③在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：，等；④在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．13.若实数满足条件则的最大值是_____________

.

参考答案：答案：1514.数列{an}中，a1=1，an=+1，则a4=．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】直接由数列递推式结合已知求a4的值．【解答】解：∵a1=1，an=+1，∴，，．故答案为：．15.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么该几何体的侧面积为

。参考答案：

16.函数在区间上的最小值是

参考答案：略17.(05年全国卷Ⅱ)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有_____________个．

参考答案：答案：192三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=∣x-a∣，其中a>1.(I)当a=3时，求不等式f(x)≥4-∣x-4∣的解集;(Ⅱ)若函数h(x)=f(2x+a)-2f(x)的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4,求a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）当时，当时，由得，，解得；当时，，无解；当时，得，，解得．∴的解集为．…………5分（Ⅱ）记，则

所以

，解得.…………10分19.（14分）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．参考答案：解析：（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.

在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－,0),B(1,0,0),

D(－1,0,0),

P(0,0,).E是PB的中点,则E(,0,)

于是=(,0,),=(0,,).设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，于是,在等腰Rt△POA中，PA=，则EF=.在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，

cos∠FED==∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.20.已知△ABC中，∠A、∠B、∠C成等差数列，且，．求：（1）求∠A，∠C的大小．（2）求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由等差数列的性质及三角形内角和定理可求∠B=60°，由正弦定理可求sinA，∠A，即可得解．（2）利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵∠A、∠B、∠C成等差数列，∴2∠B=∠A+∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°．∴∠B=60°．…由正弦定理得：，…解得：sinA=，…所以∠A=45°或∠A=135°，…因为135°+60°＞180°，所以∠A=135°应舍去，即∠A=45°．所以∠C=180°﹣45°﹣60°=75°…（2）…=3…【点评】本题主要考查了等差数列的性质及三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．21.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值参考答案：本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB