重庆第四十八中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析

重庆第四十八中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}参考答案：D【考点】集合的表示法．【分析】先化简A，B，再求出其交集即可．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜0，或x＞1}，故A∩B={x|﹣1＜x＜0，或1＜x＜3}．故选D．【点评】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．2.设集合A={－1,0,1}，集合B={0,1,2,3}，定义A＊B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B}，则A＊B中元素个数是（

）A．7

B．10

C．25

D．52参考答案：B3.已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是A． B． C． D．参考答案：C，.又.显然，所以.则，令，则，当时，，故C项正确.4.某高三毕业班的六个科任老师站一排合影留念，其中仅有的两名女老师要求相邻站在一

起，而男老师甲不能站在两端，则不同的安排方法的种数是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B方法一：；方法二：；方法三：．5.已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项的值，则判断框内的条件是A． B．

C．

D．参考答案：6.已知函数是以2为周期的偶函数，且当时，，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：答案:D7.下列说法正确的是（

）A．若直线与平面只有1个交点，则线面垂直B．过平面外一点只能做一条直线与平面平行C．球面上任意不同三点可确定一个平面D．两平面相交可以只有1个公共点参考答案：C略8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果s=132，则判断框中可以填（

）A. B.C. D.参考答案：B第一次循环第二次循环结束循环，输出，所以判断框中应填选B.9.已知圆的方程为,则此圆的半径是(A)1

(B)

(C)2

(D)参考答案：C略10.某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是A.48 B.24 C.36 D.64参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在区间（-1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是

。参考答案：略12.设A、B为在双曲线上两点，O为坐标原点.若OA丄OB,则ΔAOB面积的最小值为______参考答案：略13.设是单位向量，且的最大值为________．参考答案：14.设函数f（x）是定义在R上以2为周期的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=log2（4x+1），则f（）=．参考答案：﹣2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先利用函数的周期性、奇偶性，把自变量转化到所给的区间[0，1]，即可求出函数值．【解答】解：∵函数f（x）最小正周期为2，∴f（）=f（﹣4）=f（﹣），又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣）=﹣f（），∵当0≤x≤1时，f（x）=log2（4x+1），∴f（）=log2（4×+1）=log24=2，∴f（）=﹣f（）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题综合考查了函数的奇偶性、周期性及函数值，充分理解以上有关知识是解决问题的关键．15.

设x，y满足的最大值是

。参考答案：答案：33.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=

.参考答案：-217.已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，若不等式f（x）＞2的解集为（2，4），则实数m的值为

．参考答案：3【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意，，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，，∴m=3，故答案为3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2012?天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．

专题：概率与统计．分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是ξ024P数学期望Eξ=点评：本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19.某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望。参考答案：解：（Ⅰ）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以．第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．，，，．所以随机变量X的分布列为X0123P∴数学期望．略20.已知函数f（x）=（x+k）ex（k∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）求f（x）在x∈[0，3]上的最小值．（3）设g（x）=f（x）+f'（x），若对?k∈[﹣，﹣]及?x∈[0，2]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由f（x）=（x+k）ex，求导f′（x）=（x+k+1）ex，令f′（x）=0，求得x=﹣k﹣1，令f′（x）＜0，解得函数的单调递减区间，f′（x）＞0，解得函数的单调递增区间，根据函数的单调性即可求得f（x）的极值；（2）当﹣k﹣1≤0时，f（x）在[0，3]单调递增，f（x）的最小值为f（0）=k，当﹣k﹣1≥3时，f（x）在[0，3]单调递减，f（x）的最小值为f（3）=（3+k）e3，当0＜﹣k﹣1＜3时，则x=﹣k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣e﹣k﹣1；（3）由g（x）=（2x+2k+1）ex，求导g′（x）=（2x+2k+1）ex，当g′（x）＜0，解得：x＜﹣k﹣，求得函数的单调递减区间，当g′（x）＞0，解得：x＞﹣k﹣，求得函数的单调递增区间，由题意可知g（x）≥λ，?x∈[0，2]恒成立，等价于g（﹣k﹣）=﹣2≥λ，由﹣2≥λ，对?k∈[﹣，﹣]恒成立，根据函数的单调性，即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=（x+k）ex（k∈R），求导f′（x）=（x+k）ex+ex=（x+k+1）ex，令f′（x）=0，解得：x=﹣k﹣1，当x＜﹣k﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣k﹣1时，f′（x）＞0，x（﹣∞，﹣k﹣1）﹣k﹣1（﹣k﹣1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓﹣e﹣k﹣1↑∴f（x）的单调递增区间（﹣k﹣1，+∞），单调递减区间（﹣∞，﹣k﹣1），∴当x=﹣k﹣1，f（x）取极小值，极小值为f（﹣k﹣1）=﹣e﹣k﹣1；（2）当﹣k﹣1≤0时，即k≥﹣1时，f（x）在[0，3]单调递增，∴当k=0时，f（x）的最小值为f（0）=k，当﹣k﹣1≥3时，即k≤﹣4时，f（x）在[0，3]单调递减，∴当x=3时，f（x）的最小值为f（3）=（3+k）e3，当0＜﹣k﹣1＜3时，解得：1＜k＜4时，∴f（x）在[0，﹣k﹣1]单调递减，在[﹣k﹣1，+∞]单调递增，∴当x=﹣k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣e﹣k﹣1；（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x+k）ex+（x+k+1）ex=（2x+2k+1）ex，求导g′（x）=（2x+2k+1）ex+2ex=（2x+2k+3）ex，令g′（0）=0，2x+2k+3=0，x=﹣k﹣，当x＜﹣k﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣k﹣时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，﹣k﹣）单调递减，在（﹣k﹣，+∞）单调递增，故当x=﹣k﹣，g（x）取最小值，最小值为：g（﹣k﹣）=﹣2，∵k∈[﹣，﹣]，即﹣k﹣∈[0，2]，∴?x∈[0，2]，g（x）的最小值，g（﹣k﹣）=﹣2，∴g（x）≥λ，?x∈[0，2]恒成立，等价于g（﹣k﹣）=﹣2≥λ，由﹣2≥λ，对?k∈[﹣，﹣]恒成立，∴λ≤（﹣2）最小值，令h（k）=﹣2，k∈[﹣，﹣]，由指数函数的性质，函数h（k）在k∈[﹣，﹣]单调递增，∴当k=﹣时，h（k）取最小值，h（﹣）=﹣2e2，∴λ≤﹣2e2．∴实数λ的取值范围（﹣∞，﹣2e2）．21.已知抛物线，过焦点作动直线交于两点，过分别作圆的两条切线，切点分别为．若垂直于轴时，．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）若点也在曲线上，为坐标原点，且，，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）；

（Ⅱ）略22.如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．（1）求证：AO⊥CF；（2）求O到平面ABC的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AO⊥EF，推出AO⊥平面EFCB，即可证明AO⊥CF．（2）取BC的中点G，连接OG．推出OG⊥BC，OA⊥BC，得到BC⊥平面AOG，过O作OH⊥AG，垂足为H，说明OH⊥平面ABC，O到平面ABC的距离为O