2022-2023学年天津重点中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若在实数范围内有意义，则的取值范围是()

A.B.C.D.

2.若一次函数为常数的图象经过点，则该一次函数的图象与轴交点的坐标为()

A.B.C.D.

3.已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是()

A.B.C.D.

4.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差：

甲乙丙丁

平均数

方差

根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择()

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.下列计算错误的是()

A.B.

C.D.

6.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长为()

A.B.C.D.

7.下面几组数：，，；，，；，，均为正整数，；，，其中一定能构成直角三角形的三边长是()

A.B.C.D.

8.下列识别图形不正确的是()

A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.有三个角是直角的四边形是矩形

C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

9.一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

10.如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是()

A.B.C.D.

11.某班体育职员统计了全班名同学一周的体育锻炼时间单位：并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法：

众数是；

中位数是；

平均数是；

锻炼时间不低于的人数有人，

其中正确的是()

A.B.C.D.

12.如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路径运动，运动到点停止，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系如图表示，其中正确的是()

A.B.

C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.计算：______．

14.在菱形中，对角线、相交于点，，，则______，______．

15.若、为实数，且则的值为______．

16.如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为______．

17.如图，在中，，，点是中点，是边上一点，且，则的长等于______．

18.如图，在每个小正方形的边长为的网格中，，，，均为格点．

四边形是______四边形，四边形面积等于______；

请用无刻度直尺，在所示的网格中求作一点，使得以为底边的等腰三角形的面积等于并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

计算：

；

20.本小题分

为了解某电影在春节假期的上映满意度，随机抽取了部分观众，对这部电影进行打分打分按从高分到低分为个分值：分，分，分，分，分，根据调查结果，绘制出如图的统计图和图．

请根据相关信息，解答下列问题：

Ⅰ本次抽取的观众的人数为______，图中的值为______；

Ⅱ求统计的这组分数数据的平均数、众数和中位数．

21.本小题分

已知：如图，四边形中，，，，，．

若为中点，求的长度；

连接，求线段的长度．

22.本小题分

如图，矩形中，点、分别在边、上，且．

求证：四边形是平行四边形．

若四边形是菱形，，，求菱形的周长．

23.本小题分

在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校李华从学校出发，匀速骑行到达书店：在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆：在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校：回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校，给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

填表：

离开学校的时间

高单物的距离__________________

填空：

书店到陈列馆的距离为______；

李华在陈列馆参观学习的时间为______；

季华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______；

当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为______

当时，请直接写出关于的函数解析式．

24.本小题分

如图，已知四边形是正方形，是对角线上的一点，连接，．

求证：；

如图，点是边上的一点，且于，连接，为的中点，连接若，求的度数；

在的条件下，若，求的长．

25.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，已知点坐标，点在直线上，横坐标为，点是轴正半轴上的一个动点，连结，以为直角边在右侧构造一个等腰，且．

求直线的解析式以及点坐标；

设点的横坐标为，试用含的代数式表示点的坐标；

如图，连结，，请直接写出使得周长最小时，点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得，

解得，

故选：．

根据算术平方根的被开平方数是非负数进行求解．

此题考查了算术平方根概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．

2.【答案】

【解析】解：一次函数为常数的图象经过点，

，

解得，

，

当时，，

解得，

该一次函数的图象与轴交点的坐标为．

故选：．

把点代入，求出的值，再令，得出，然后求解即可．

本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，

，，

解得．

故选：．

根据一次函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．

本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时函数图象经过第一、二、三象限是解答此题的关键．

4.【答案】

【解析】解：甲的方差是，乙的方差是，丙的方差是，丁的方差是，

，

发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，

甲的平均数是，乙的平均数是，

成绩好的应是甲，

从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；

故选：．

根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可．

本题考查了方差和平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

5.【答案】

【解析】解：，

选项A符合题意；

，

选项B不符合题意；

，

选项C不符合题意；

，

选项D不符合题意，

故选：．

运用二次根式的运算方法进行逐一计算、辨别．

此题考查了二次根式的运算能力，关键是能准确运用该计算法则进行计算．

6.【答案】

【解析】解：的两直角边，，

，

，

由折叠得，，

，

，

，

解得，

的长为，

故选：．

由勾股定理求得，由折叠得，，则，所以，于是得，求得，于是得到问题的答案．

此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求得并且证明是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：不能，，不能构成直角三角形；

能，，能构成直角三角形；

能，，能构成直角三角形；

不能，，不能构成直角三角形；

故选C．

根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．

本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足，则此三角形是直角三角形．

8.【答案】

【解析】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；

B、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；

C、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；

D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．

故选：．

矩形的判定定理有：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

有三个角是直角的四边形是矩形．

对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．

本题主要考查的是矩形的判定定理．

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

有三个角是直角的四边形是矩形．

对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．

9.【答案】

【解析】解：由函数图象可知，当时，．

故选：．

直接根据一次函数的图象即可得出结论．

本题考查的是一次函数的图象，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数图象：一次函数经过两点、注意：使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．

对于各选项，先确定一条直线的位置得到和的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求．

【解答】

解：、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，所以选项错误；

B、若经过第一、二、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、三、四象限，所以选项错误；

C、若经过第一、三、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，所以选项正确；

D、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，所以选项错误；

故选：．

11.【答案】

【解析】解：由图可知，锻炼小时的有人，所以在这组数中出现次为最多，所以众数是．

把数据从小到大排列，中位数是第位数，第位是，所以中位数是．

平均数是，所以平均数是．

锻炼时间不低于小时的有人，

故选：．

根据众数，中位数，平均数的定义解答．

此题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．平均数是所有数的和除以所有数的个数．

12.【答案】

【解析】解：当时，点在上，

此时，

对应的图象是经过原点的直线，

当时，点在上，

此时，

对应的图象是平行于轴的线段，

当时，点在，

此时，

对应的图象是直线段，

当时，，

只有选项符合题意，

故选：．

根据点的运动情况，分在，，上三种情况讨论，求出每个阶段的变化趋势即可确定选项．

本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要写出点在，，线段上时对应函数关系式．

13.【答案】

【解析】解：

．

故答案为：．

利用平方差公式计算．

本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，平方差公式．

14.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，

，，

，，

，

，

故答案为：，．

由菱形的性质可得，，由勾股定理可求，即可求解．

本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：根据二次根式有意义的条件可得，

解得：，

故，

，

故答案为：．

根据二次根式有意义的条件可得，解可得的值，再把的值代入原式可得的值，然后再利用乘方计算出的值．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

16.【答案】

【解析】解：函数经过点，

，

解得：，

则关于的不等式可以变形为，

由图象得：的解集为．

故答案为：．

首先将点的坐标代入正比例函数中求得的值，然后结合图象直接写出不等式的解集即可．

本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．

17.【答案】

【解析】解：延长到点，使，连接，作于点，则，

，，

，

，

，

，

，

，

，

点是的中点，

点是的中点，

，

故答案为：．

延长到点，使，连接，作于点，由，得，则，，所以，则，所以，因为，点是的中点，所以，于是得到问题的答案．

此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

18.【答案】平行

【解析】解：，，

四边形是平行四边形，

四边形面积；

故答案为：平行，；

如图，先确定小正方形网格的边的中点、、，

连接、，与的交点为点，

为与网格线的交点，再把绕点顺时针旋转得到，

由得，所以；

因为四边形的面积为，

所以等腰三角形的面积等于，

则点为所作．

利用一组对边平行且相等可判断四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形面积；

如图，点、、分别为小正方形网格的边的中点，连接、，与的交点为点，为与网格线的交点，再把绕点顺时针旋转得到，由得，即垂直平分，所以；然后利用四边形的面积为得到等腰三角形的面积等于，从而可判断点满足条件．

本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的面积．

19.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法和除法运算；

先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．

20.【答案】人

【解析】解：人，

，

故答案为：人；．

分

分人数最多．

第个数据是分．

答：这组分数数据的平均数、众数和中位数分别是分、分、分．

用分人数所占百分比求出总数，再分人数总数得到的值．

依据平均数、众数和中位数的定义依次计算即可．

本题考查了样本中频数与频率的关系，平均数、众数和中位数的求法，准确掌握各个概念是解题关键．

21.【答案】解：过点作于点，

，，

，

又，

四边形为矩形，

，

，，

，

在中，，，

，

，

在中，，，

，

，

，

点为斜边上的中点，

；

在中，，，

由勾股定理得：．

【解析】过点作于点，先证四边形为矩形得，再证，然后分别求出，，继而得的长，据此可求出的长；

在中由勾股定理可求得的长．

此题主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是过点作于点构造矩形和直角三角形．

22.【答案】证明：四边形是矩形，

，，，

，

，

四边形是平行四边形．

四边形是菱形，

，，

设，则，

在中，由勾股定理得：，

解得：，

，

菱形的周长．

【解析】由矩形的性质得出，，，证出，即可得出四边形是平行四边形．

由菱形的性质得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

此题考查了菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

23.【答案】或

【解析】解：离开学校，离学校距离为，

由图象知离开学校，离学校距离为；离开学校，离学校距离为；

故答案为：，，；

，

书店到陈列馆的距离为，

故答案为：；

，

李华在陈列馆参观学习的时间为，

故答案为：；

，

李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为，

故答案为：；

，，

离开学校时，李华离学校的距离为，

，

离开学校时，李华离学校的距离为，

故答案为：或；

当时，；

当时，；

当时，；

．

离开学校，离学校距离为，由图象知离开学校，离学校距离为；离开学校，离学校