2022年江苏省南京市如东中学高三数学文期末试卷含解析

2022年江苏省南京市如东中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设圆C与圆

外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（

）A．抛物线

B．双曲线

C．椭圆

D．圆参考答案：A

本题考查了圆与圆外切、直线与圆相切的条件以及抛物线的定义，考查了学生对知识的掌握程度，难度中等。

因为圆C与圆外切，同时与直线y=0相切，所以点C到点（0,3）的距离比到直线y=0的距离大1，即点C到点（0,3）的距离与到直线y=—1的距离相等，由抛物线定义可知点C的轨迹是抛物线.2.已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.给出下列命题：

①若集合，，则是的一个二元基底；②若集合，，则是的一个二元基底；③若集合是集合的一个元基底，则；④若集合为集合的一个元基底，则的最小可能值为．其中是真命题的为(

)

A.①③

B.②④

C.①③④

D.②③④参考答案：D3.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是

（）(A)

(B)

(C)2

(D)4参考答案：B4.设函数，则函数的各极小值之和为（）A.

B.C.

D.参考答案：D5.已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则（

）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i参考答案：【知识点】复数运算L4A，故选A.【思路点拨】由复数运算直接计算即可.6.对任意实数，函数的导数存在，若且，则以下正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.已知直线⊥平面,直线平面,下面三个命题：（***）①∥⊥；②⊥∥；③∥⊥.则真命题的个数为A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C8.已知为第二象限角，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.E，F是等腰直角斜边AB上的三等分点，则（

）A．

B．

C．

D．[来源:学,科,网]参考答案：D10.在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：C由余弦定理，知，所以所以，可化为：，所以，，所以，B＝。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=

．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．12.在三棱锥P﹣ABC中，PB=6，AC=3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为．参考答案：解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．由作图可知：EN∥FM，∴四点EFMN共面可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM．∴=，可得EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．∴截面的周长为8．故答案为：8．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，过G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F．过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．由作图可知：四点EFMN共面．可得=，EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．解答：解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．由作图可知：EN∥FM，∴四点EFMN共面可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM．∴=，可得EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．∴截面的周长为8．故答案为：8．点评：本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力用途计算能力，属于中档题13.甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为三个层次），得的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得或；乙说：我肯定得；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得的同学是

．参考答案：若得的同学是甲，则甲、丙预测都准确，乙预测不准确，符合题意；若得的同学是乙，则甲、乙、丙预测都准确，不符合题意；若得的同学是丙，则甲、乙、丙预测都不准确，不符合题意。综上，得的同学是甲.14.展开式中的的系数为_______参考答案：30【分析】利用组合知识，5个相乘，其中含的项，可以5个括号中3个取，剩余2个取1，也可以2个取剩余的3个括号中选2个取，剩余1个取1，还可以5个括号选一个取，剩余4个取，这3项的系数和即为所求.【详解】利用组合知识，含的项可以分3种情况取得，第一种取3个，剩余两个取1，即.第二种选2个括号提供，剩余的3个括号中选2个取，剩余1个取1，即，第三种5个括号选一个取，剩余4个取，即，合并同类项，系数为，故填30.15.如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是_____________.参考答案：16.已知是定义在上的奇函数，对恒有，且当时，则

；参考答案：17.已知，则满足不等式的实数的最小值是

．参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别是.

(1）求的值；

(2）求证：

(3）求的取值范围.参考答案：′

(1）依题意知为函数的极大值点′（0）=0

(2）证明：由（1）得′

为的根

①式又在0，2上为减函数′≤0

②式由知②≤-3

由①知，由≤-3知≥2(3）解：∵的三个根为

≤-3

≥9,即≥9,≥3

19.已知集合A=．（1）求A∩B；（2）若f（x）=log2x﹣，x∈A∩B求函数f（x）的最大值．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；交集及其运算．【分析】（1）运用指数函数单调性化简集合A，由幂函数单调性求得B，再由交集定义可得；（2）求得f（x）的导数，判断单调性，即可得到f（2）为最大值．【解答】解：（1）∵1＜2x≤16，∴20＜2x≤24，即0＜x≤4，∴A={x|0＜x≤4}，∵x∈（0，4]，∴．∴A∩B=（0，2]；（2）f（x）=log2x﹣的导数为f′（x）=+，f′（x）在（0，2]大于0，可得f（x）在（0，2]递增，f（2）取得最大值log22﹣=1﹣=．20.（12分）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．参考答案：【考点】：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果．（Ⅱ）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值．解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：于是f（θ）===2

（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示，其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．因为P∈Ω，所以0≤θ≤，∴f（θ）==，且，故当，即时，f（θ）取得最大值2；当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1．【点评】：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．21.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）不等式可化为，当时，，解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即；综上所述，不等式的解集为或.（2）由不等式可得.∵，∴，即解得或.∴实数的取值范围是.

22.已知函数,．(Ⅰ)当时,恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)当时,研究函数的零点个数;(Ⅲ)求证:

(参考数据:)．参考答案：(Ⅰ)令==,则=;①若,则,,在递增;而=,即在恒成立,满足；所以;②若,=在递增,=且且时,

,则使；在递减,在递增,所以当时,即当时,,不满足题意,舍去;综合①,②知的取值范围为.(Ⅱ)依题意得=,则=,则=在上恒成立,故=在递增,所以,且时,;①若,即,则,故在递