湖南省娄底市山溪中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析

湖南省娄底市山溪中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则x的取值范围是（）A．R B． C． D．?参考答案：C【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】把不等式两边化为同底数，然后利用指数式的单调性求解．【解答】解：由，得2x＞21﹣x，即x＞1﹣x，∴x．∴x的取值范围是x．故选：C．【点评】本题考查指数不等式的解法，考查了指数函数的性质，是基础题．2.已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列{an}满足，且，(其中Sn为{an}的前n项和).则（）A.3 B.－2 C.－3 D.2参考答案：A由奇函数满足可知该函数是周期为的奇函数，由递推关系可得：,两式做差有：，即，即数列构成首项为，公比为的等比数列，故：，综上有：，，则：.本题选择A选项.3.已知0＜＜1，m>1，则函数的图象大致为参考答案：B4.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（）A．3π B．3π C．6π D．9π参考答案：A【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】先求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的全面积．【解答】解：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则它的边长是a，所以，∴a=2，这个圆锥的全面积是：×2π×2=3π故选A．【点评】本题考查圆锥的有关知识，考查空间想象能力，是基础题．5.已知平面向量满足：，，，若，则的值为（

）A. B. C.1 D.-1参考答案：C【分析】将代入，化简得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.6.△ABC中，，，则△ABC一定是（

）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形参考答案：D【分析】根据余弦定理得到，进而得到三个角相等，是等边三角形.【详解】中，，,故得到，故得到角A等于角C，三角形等边三角形.故答案为：D.7.在R上定义运算?：x?y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）?（x﹣b）＞0的解集是（2，3），则a+b的值为(

)A．1B．2C．4D．8参考答案：C考点：一元二次不等式的解法．专题：新定义．分析：根据定义，利用一元二次不等式的解法求不等式的解集．解答：解：∵x?y=x（1﹣y），∴（x﹣a）?（x﹣b）＞0得（x﹣a）＞0，即（x﹣a）（x﹣b﹣1）＜0，∵不等式（x﹣a）?（x﹣b）＞0的解集是（2，3），∴x=2，和x=3是方程（x﹣a）（x﹣b﹣1）=0的根，即x1=a或x2=1+b，∴x1+x2=a+b+1=2+3，∴a+b=4，故选：C．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，利用新定义列出不等式是解决本题的关键．

8.圆心为的圆C与圆相外切，则圆C的方程为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】求出圆的圆心坐标和半径，利用两圆相外切关系，可以求出圆的半径，求出圆的标准方程，最后化为一般式方程.【详解】设的圆心为A，半径为r，圆C的半径为R,，所以圆心A坐标为，半径r为3，圆心距为，因为两圆相外切，所以有,故圆的标准方程为:,故本题选A.【点睛】本题考查了圆与圆的相外切的性质，考查了已知圆的方程求圆心坐标和半径，考查了数学运算能力.9.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图2所示，则时速超过60km/h的汽车数量为（）A．38辆

B．28辆

C．10辆

D．5辆参考答案：【知识点】样本的频率估计总体分布.A解：根据频率分步直方图可知时速超过60km/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，

∵共有100辆车∴时速超过60km/h的汽车数量为0.38×100=38（辆）

故选A．【思路点拨】根据频率分步直方图看出时速超过60km/h的汽车的频率比组距的值，用这个值乘以组距，得到这个范围中的频率，用频率当概率，乘以100，得到时速超过60km/h的汽车数量．10.椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是（）A．（±3，0） B．（±，0） C．（±，0） D．（0，±）参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将椭圆的方程25x2+16y2=1为标准形式，可得a2=，b2=，即可求得答案．【解答】解：椭圆的方程25x2+16y2=1化为标准形式为：=1，∴a2=，b2=，∴c2=a2﹣b2=，又该椭圆焦点在y轴，∴焦点坐标为：（0，±）．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程化为标准形式是关键，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.把函数的图象向右平移2个单位后，得到函数的图像，则

参考答案：略12.若不等式的解集为，则不等式的解集为

．参考答案：

13.已知常数，若函数在R上恒有，且，则函数在区间[－5,14]上零点的个数是________.参考答案：15【分析】根据可得函数周期，作出函数一个周期上的图象，利用数形结合即可求解.【详解】函数在上恒有,,函数周期为4.常数,,函数在区间上零点,即函数与直线及直线之间的直线的交点个数.由，可得函数一个周期内的图象，做草图如下：由图可知，在一个周期内，函数有3个零点，故函数在区间上有15个零点.故填15【点睛】本题主要考查了函数零点的个数判断，涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题.14.根据表格中的数据，若函数在区间内有一个零点，则的值为

．

1234500．691．101．391．61参考答案：略15.（5分）将函数y=sinx的图象上所有点左移个单位所得图象对应的函数的解析式是

．参考答案：y=cosx考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由条件利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答： 将函数y=sinx的图象上所有点左移个单位所得图象对应的函数的解析式是y=sin（x+）=cosx，故答案为：y=cosx．点评： 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．16.在数列{an}中，，则数列的通项________.参考答案：【分析】根据递推公式特征，可以采用累加法，利用等差数列的前项和公式，可以求出数列的通项公式.【详解】当时，，，当也适用，所以.【点睛】本题考查了累和法求数列通项公式、等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.17.若2x1+3y1=4，2x2+3y2=4，则过点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线方程是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，,且(1)求函数的解析式;(2)当时,的最小值是－4,求此时函数的最大值,并求出相应的x的值.参考答案：（1）函数的最小正周期π（2）,此时,.(1)即——4分(2)——6分由,,,,——8分,此时,.——10分19.数列{an}的前n项和.（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使成立的实数m最小值.参考答案：（1）；（2），.【分析】（1）由已知可先求得首项，然后由，得，两式相减后可得数列的递推式，结合得数列是等比数列，从而易得通项公式；（2）对数列可用错位相减法求其和．不等式恒成立，可转化为先求的最大值．【详解】（1）由得.由，可知，可得，即.因为，所以，故因此是首项为，公比为的等比数列，故.（2）由（1）知.所以①两边同乘以得②①②相减得从而于是，当是奇数时，，因为，所以.当是偶数时，因此.因为，所以，的最小值为.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减法求和的数列一般是，其中是等差数列，是等比数列．20.设函数.（1）求函数f(x)的定义域A；（2）若对任意实数m，关于的方程总有解，求实数a的取值范围.参考答案：解:

(1)由有意义当时,的定义域为当时,的定义域为当时,的定义域为(2)对任意实数方程总有解,则的值域为则至少有一解,，实数的取值范围

21.（本小题满分12分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:（Ⅰ）要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？参考答案：解：依题意，.设利润函数为，则

(Ⅰ)要使工厂有赢利，即解不等式，当时，解不等式即.∴

∴。当x>5时，解不等式，得。∴。综上所述，要使工厂赢利，应满足，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内。(Ⅱ)时，故当时，有最大值3.6.而当时，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多.22.（10分）已知函数f（x）=k?2x+2﹣x（k是常数）．（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；（2）若对于任意x∈，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范围．参考答案：考点： 函数奇偶性的判断；函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）运用f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，求解得出k=﹣1，（2））解法1：对于任意x∈，不等式都成立．转化为对于任意，不等式k＜﹣t2+t都成立，只需k＜（﹣t2+t）min即可．解法2：对于任意，不等式k?t2﹣t+1＜0都成立．又令g（t）=k?t2﹣t+1．分类讨论求解转化为不等式组求解即可．解答： （1）因为函数f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），令x=0，所以f（0）=0，即k?20+20=0，即k+1=0，解得k=﹣1，此时f（x）=﹣2x+2x，因为f（﹣x）=﹣2﹣x+2x，即f（﹣x）=﹣（﹣2x+2﹣x），则f（﹣x）=﹣f（x）．所以当函数f（x）是R上的奇函数，k=﹣1．（2）解法1：由题意知对于任意x∈，不等式k?2x+2﹣x＜1都成立．即对于任意x∈，不等式都成立．因为2x＞0，则对于任意x∈，不等式都成立．令，则，且对于任意，不等式k＜﹣t2+t都成立，只需k＜（﹣t2+t）min即可．因为，所以，即（﹣t2+t）min=﹣56，因此k＜﹣56．解法2：由题意知对于任意x∈，不等式k?2x+2﹣x＜1都成立．因为2x＞0，所以对于任意x∈，不等式k?（2x）2﹣2x+1＜0