辽宁省阜新市第四高级中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

辽宁省阜新市第四高级中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如下程序框图所示，已知集合，集合，当时=（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C【知识点】程序框图．解析：执行程序框图，有x=1y=1x=2输出1，2不满足条件x＞5，y=3，x=3，输出3，3不满足条件x＞5，y=5，x=4，输出5，4不满足条件x＞5，y=9，x=5，输出9，5不满足条件x＞5，y=17，x=6，输出17，6满足条件x＞5，退出循环，结束．从而可得A={2，3，4，5，6}，B={1，3，5，9，17}故={3，5}，故选：C2.已知等差数列中，，前10项的和等于前5的和，若则

10

9

8

2参考答案：A3.若等边三角形ABC的边长为，该三角形所在平面内一点M满足，则等于A.

B.

C.1

D.2参考答案：A略4.实数的最大值为（

）

A.18 B.19 C.20 D.21参考答案：D5.已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点，则f(4)的值等于()A．16

B.

C．2

D.参考答案：D6.今有10个大小相同的乒乓球都放在一个黑色的袋子里，其中4个球上标了数字1，3个球上标了数字2，剩下的球都标了数字5，现从中任取3个球，求所取的球数字总和超过8的概率是（

）．A.

B.

C.

D.参考答案：C7.设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(RB)＝（

）A．(1，4)

B．(3，4)

C．(1，3)

D．(1，2)参考答案：B8.过双曲线的焦点作渐近线的垂线，则直线与圆的位置关系是

（

）

A．相交

B．相离

C．相切

D．无法确定参考答案：C9.复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A略10.函数

的定义域为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．参考答案：[﹣2，2]【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：当x≥0时，由f（x）=2x﹣4=0得x=2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．12.若的面积为，，则边长AB的长度等于

.参考答案：2略13.（2013?黄埔区一模）已知F是双曲线C：的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y=是双曲线C的一条渐近线．以线段OF为边作正三角形MOF，若点M在双曲线C上，则m的值为_________．参考答案：3+略14.在锐角三角形△ABC中，已知，△ABC的面积为，则的值为___________参考答案：215.设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则面积的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C16.现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是

．纤维长度频数[22.5，25.5）3[25.5，28.5）8[28.5，31.5）9[31.5，34.5）11[34.5，37.5）10[37.5，40.5）5[40.5，43.5]4参考答案：180【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布表先求出纤维长度不小于37.5mm的频率，由此能估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数．【解答】解：由频率分布表知：纤维长度不小于37.5mm的频率为：=0.18，∴估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是1000×0.18=180．故答案为：180．17.用表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数的图象、x轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图：在三棱锥D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且.（1）求三棱锥D－ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．参考答案：解：解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．分设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．∴，，．分三棱锥D－ABC的表面积为．分（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．分∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC分∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．分（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．分∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝分略19.过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点.(1)求PQ中点R的轨迹L的方程;(2).证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.参考答案：(1)抛物线的焦点为,设的直线方程为.由得,设M,N的横坐标分别为,则,得,,而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.代入得.设动点R的坐标,则,因此,故PQ中点R的轨迹L的方程为.-------------------------------5分(2)显然对任意非零整数,点都是L上的整点,故L上有无穷多个整点.

假设L上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数m,不妨设,则,因为是奇素数,于是,从可推出,再由可推出,令,则有,由,得,于是,即,于是,,得,故,有,但L上的点满足,矛盾!因此,L上任意点到原点的距离不为整数.--------------------------------10分20.（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1。（I）求证：AF⊥平面CBF；（II）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（III）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为，求。参考答案：（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB，……2分又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF。……4分（II）设DF的中点为N，则MN，又，则，MNAO为平行四边形，………………6分∴OM∥AN，又AN平面DAF，PM平面DAF，∴OM∥平面DAF。8分（III）过点F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，∴，………………10分∵CB⊥平面ABEF，∴，∴………………12分21.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，为三棱柱，且，四边形ABCD为平行四边形，，.（1）求证：；（2）若，求证：；

（3）若，二面角的余弦值为若，求三棱锥的体积．参考答案：（1）【证明】连交于点，连交于点，则.由平几知：为的中点，为的中点，即为的中位线..又.……………3分

（2）【证明】.又.在中由余弦定理知：.又.又.又.……7分（3）【解】作交于，连，由（2）知：..……9分；由知：得；在中由平几知：，于是得为正方形.由（2）知：.………12分

22.（本小题满分12分）一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数10152025303540件数471215202327其中．

（Ⅰ）以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；（Ⅱ）求回归直线方程；（结果保留到小数点后两位）（参考数据：，，，，，）

（Ⅲ）预测进店人数为80人时，商品