第1课时等腰三角形的性质

13.3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质

如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC

有什么特点？一、探索并证明等腰三角形的性质ABCD

仔细观察自己剪出的三角形纸片，你能发现这个三角形有什么特征吗？1、等腰三角形的定义：

有两边相等的三角形是等腰三角形一、探索并证明等腰三角形的性质几何符号表示在△ABC中∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形CBACBA

2、等腰三角形的性质:（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、

底边上的中线、底边上的高互相重合．AＢCD一、探索并证明等腰三角形的性质几何符号表示2.等腰三角形的性质:DCBA(1)∵AB＝AC∴∠B＝∠C(2)∵AB＝AC,当AD⊥BC于D∴BD＝CD

∠BAD＝∠CAD或者∵AB＝AC,当BD＝CD

∴AD⊥BC于D∠BAD＝∠CAD或者∵AB＝AC,当∠BAD＝∠CAD∴AD⊥BC于D

BD＝CD

利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2．对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？

一、探索并证明等腰三角形的性质

1、已知：如图，△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．AＢCD

证明：作底边的中线AD．∵AB=AC，

BD=CD，

AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B=∠C．一、探索并证明等腰三角形的性质

你还有其他方法证明性质1吗？

可以作底边的高线或顶角的角平分线.

性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．一、探索并证明等腰三角形的性质2、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线．求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．或者已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC

的平分线．求证：BD=CD，AD⊥BC．或者已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD＝CD，

求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．DCBA

2、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线．求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．AＢCD

证明：∵AD是底边BC的中线，∴BD=CD．∵AB=AC，

BD=CD，

AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）（转下页）．一、探索并证明等腰三角形的性质

2、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线．求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．AＢCD

证明：（接上页）

∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC．∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=90°．

∴AD⊥BC．一、探索并证明等腰三角形的性质

在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形还具有什么特征？

等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．一、探索并证明等腰三角形的性质例

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.

于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°解得x=36°所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°二、课堂练习（1）

填空：（1）如图，△ABC中,AB=AC,∠A=36°,则∠B

=

°；ABC72

填空：（2）如图，△ABC中,AB=AC,∠B=36°,则∠A=

°；

ABC108二、课堂练习（1）

填空：（3）已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两个内角的度数分别是

.55°，55°或者40°，70°二、课堂练习（1）二、课堂练习（2）

在△ABC中，AB＝AC,点D是BC的中点，点E在AD上，求证：BE＝CEECDBA证明：∵AB＝AC,点D是BC