数学人教九年级上册（2014年新编）第二十四章 圆（单元测试）

第二十四章圆（单元测试）一、单选题（每题4分，共40分）1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，综上所述，四个说法中正确的只有1个，故选：A．2．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【详解】解：在⊙O中，∵∴，故A、C选项正确，不符合题意；∵，OA=OD，OB=OC∴∴∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∴OE=OF故B选项正确，不符合题意．故选D3．知图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，连接AC、CD，CD与AB相交于点E，若=2，∠C＝20°，则∠AED的度数为（

）A．50° B．53° C．55° D．58°【详解】解：连接OD，OC，∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°，∴∠DOB=180°-∠AOD=140°，∵=2，∴∠BOD=2∠BOC，∴∠BOC=70°，∴∠CAO=∠BOC=35°，∴∠AED=∠ACD+∠CAO=55°，故选：C．4．若是的弦，半径于点D，，则的长为(

)A．4 B．3 C．2 D．1【详解】解：如图，连接OA，∵半径于点D，，∴，则，∴25＝（5−DC）2＋16，∴DC＝2cm．故选：C．5．已知⊙O的半径是7cm，点O到同一平面内直线l的距离为6.9cm，则直线l与⊙O的位置关系是(

)A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断【详解】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d=6.9cm，r=7cm，∴d<r，∴直线l与圆相交．故选A．6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【详解】解：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，∵∠COB＝2∠CDB＝50°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．故选：A．7．如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为4，且，则的长度为（

）A．6 B．5 C． D．【详解】解：如图，作OH⊥AB于H，与正方形的边AD切于点F，则∠OFD＝∠OFA＝90°，∠OHA＝90°，∵∠A＝90°，OH＝OF，∴四边形AHOF是正方形，∵的半径为4，且，∴OF＝AF＝OH＝4，AD＝AB＝10，∴DF＝10－4＝6，∵与相切于点，∴DE＝DF＝6，故选：A．8．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（

）A． B． C． D．【详解】解：以OA半径的圆的面积是πr2，则以OB半径的圆的面积是πr2，则以OC半径的圆的面积是πr2∴πr2，πr2，∴OB＝r，OC＝r．∴OA：OB：OC＝r：r：r＝：：1，故选：C．9．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π【详解】如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，，解得，所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，故选A．10．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（

）A． B． C． D．【详解】解：设扇形的半径为，圆锥的高为，依题意得，解得，∵，，构成以为斜边的直角三角形，∴，故选：二、填空题（每题4分，共20分）11．直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD//AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为________．【详解】解：连接OA，作OE⊥CD于E，则，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB．∵CDAB，OE⊥CD，∴E、O、A三点共线．连接OC，在Rt△OEC中，OC=5，CE=4，由勾股定理得，，．12．已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为______．【详解】解：如图：连接AO并延长交圆O于点B，C两点，点A到⊙O上的点的最短距离线段AB的长，最长距离为线段AC的长度．设圆的半径为r，则：BC＝2r＝AC−AB＝4−2＝2，∴r＝1．故答案为：1．13．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠CDE，∵∠CDE=82°，∴∠ABC＝82°．故答案为：82°14．一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R﹣r＝_________．【详解】如图：连接，，圆是的内切圆，，，四边形是正方形设直角三角形斜边长是直角三角形外接圆的直径其外接圆半径为：故答案为：15．如图，的直径，AM，BN是它的两条切线，DE与相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BE，OC相交于点F，若，则BF的长是______．【详解】如图，过点作于点，是的切线，，，，，，，四边形是矩形，，，中，，，，中，，，，故答案为：．三、解答题（16题8分，17-19题每题9分，20题11分，21题14分）16．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径．【详解】解：连接OC，∵EM过圆心，EM⊥CD，∴CM＝CD，∵CD＝4cm，∴CM＝2cm，设圆的半径是xcm，在Rt△COM中，OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，∴圆的半径长是cm．17．已知：如图，为的直径，，交于，于．(1)请判断与的位置关系，并证明．(2)连接，若的半径为2.5，，求的长．（1）DE与相切，证明：连接AD、OD，∵AB为O的直径，∴∠BDA=90°，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴BD=DC，又∵OB=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴ODAC，又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是的切线．（2）解：∵的半径为2.5，则AB=AC=5，在中，AD=3，AC=5，∴，又∵，∴．18．AB为的直径，C是上的一点，D在AB的延长线上，且，(1)CD与相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．(2)若，BD＝12cm．求的半径．（1）解：CD与⊙O相切．理由如下：如图，连接CO，∵AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°；∵∠A=∠OCA，且∠DCB=∠A，∴∠OCA=∠DCB，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）在Rt△OCD中，∠D=30°；∴∠COD=60°，∴∠A=30°，∴∠BCD=∠D=30°，∴BC=BD=12，∴AB=24，∴r=12（cm）．19．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图，是正三角形，，六边形的各内角相等，但它不是正六边形．丙同学：边数是3时，它是正多边形，我想…，边数是5时，它可能也是正多边形．（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等，但它不是正六边形；（2）请你证明，各内角都相等的圆内接五边形（如图）是正五边形；（不必写已知，求证）（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）【详解】（1）证明：由题图1可知AFC对，DAF对，∵=，=，，∴，∴AFC=DAF．同理可证，其余各角都等于AFC，故乙同学构造的六边形各内角相等，∵，即AF≠CF，∴它不是正六边形；（2）证明：∵A对，B对，A=B，∴=，∴，同理可证，．∴BA=BC=CD=DE=AE，∴各内角都相等的圆内接五边形ABCDE是正五边形；（3）由（1）、（2）可猜想：当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形；由题干可猜想：当边数是偶数时，各内角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．20．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．【详解】（1）如图，连接OE、BE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．∵BC=EC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠OBC=∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC=∠OBC=90°；∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A，∴DA=DE；（2）如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，DF=AB=6，∴DC=BC+AD=4，∵CF==2，∴BC﹣AD=2，∴BC=3，在直角△OBC中，tan∠BOC==，∴∠BOC=60°．在△OEC与△OBC中，，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠BOE=2∠BOC=120°，∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣

=

9﹣3π．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．【详解】解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴EA2+CF2＝EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴S