新教材人教A版5.7三角函数的应用课件（41张）

5.7三角函数的应用关键能力探究探究点一三角函数模型在物理中的应用【典例1】已知,如图表示电流强度I与时间t的关系I=Asin(ωt+φ)的图象.(1)试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式.(2)为了使I=Asin(ωt+φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值-|A|,那么正整数ω的最小值是多少?【思维导引】(1)由最值确定A,由起始及终止点确定ω,根据五点对应求φ值.(2)由周期与秒的关系确定ω.【解析】(1)由题图知,A=300,T=所以ω=因为-+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ=+2kπ,k∈Z.因为φ∈,所以φ=.所以I=300sin(t≥0).(2)问题等价于T≤所以ω≥200π.所以最小的正整数ω为629.

【类题通法】三角函数模型在物理中的应用(1)应用广泛:三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流、机械波等具有周期现象的方面.(2)物理术语数学化:解决三角函数模型在物理中的应用问题时,要注意将条件中的物理术语与数学知识的联系、转化,如频率、平衡位置、波峰等.(3)利用数学知识解决问题后要将求出的数据回归其物理意义,以解决实际问题.【定向训练】(2020·广州高一检测)弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间的对应数据记录如表:t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.1010.017.720.017.710.00-10.1-17.8-20.0(1)试根据这些数据确定这个振子的位移y关于时间t的函数解析式.(2)画出该函数在t∈的函数图象.(3)在一次全振动过程中,求位移为10mm时t的取值集合.【解析】(1)设函数解析式为y=Asin(ωt+φ),

由表格可知:A=20,T=0.6,则ω=由函数图象过点(0,-20),得-20=20sinφ,即sinφ=-1,则φ=-+2kπ,k∈Z,令k=0,可得φ=-.则这个振子的位移y关于时间t的函数解析式为y=20sin,t≥0.(2)t00.150.30.450.6

0πy-200200-20由表格数据知,y=20sin的图象如图所示,(3)由题意得:20sin=10,即sin=,则或化简得t=或t=又t∈,则t为0.2,0.4,所以在一次全振动过程中,位移为10mm时t的取值集合为探究点二三角函数模型的实际综合应用【典例2】如图为大型观览车主架示意图.点O为轮轴中心,距地面高为32m(即OM=32m),巨轮半径为30m,点P为吊舱与轮的连结点,吊舱高2m(即PM=2m),巨轮转动一周需15min.某游人从点M进入吊舱后,巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止,记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M′.(1)试建立点M′距地面的高度h(m)关于转动时间t(min)的函数关系,并写出定义域.(2)求转动过程中点M′超过地面45m的总时长.【思维导引】本题的实际背景具有“周而复始”的性质,故建立三角函数模型解题.(1)以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,以Ox为始边,按逆时针方向转动至终边OP′,写出点P′的纵坐标,计算M′点距地面的高度.(2)利用点M′超过地面45m时得出三角函数不等式,求出时间t的取值范围即可.【解析】(1)如图所示,以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,则以Ox为始边,按逆时针方向经过时间t(min)转动至终边OP′所形成的角为则点P′的纵坐标为30sin,所以M′点距地面的高度为(2)当点M′超过地面45m时,h=即cost<-,所以k∈Z,即5+15k<t<10+15k,k∈Z;因为t∈[0,45],所以t∈(5,10)∪(20,25)∪(35,40),所以总时长为15分钟,即点M′超过地面45m的总时长为15分钟.

【延伸探究】在本例中,如何确定游客(即点M′)处在最高点的时刻?【解析】方法一:因为巨轮转动一周需15min,匀速转动3周后停止,且0时刻点M′最低,所以第min,第+15=min,+15+15=min,游客(即点M′)处在最高点.方法二:依题意,求h=30sint∈[0,45]取得最大值时对应的时间t.令t=2kπ+π,k∈Z,得t=(2k+1),k∈Z,所以当k=0,1,2时,t1=,t2=,t3=,即第min,第+15=min,第+15+15=min,共有三个时刻,游客(即点M′)处在最高点.

【类题通法】解三角函数应用问题的基本步骤【定向训练】某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是水深数据:t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦函数模型y=Asinωt+B的图象.(1)试根据数据表和曲线,求出y=Asinωt+B的解析式.(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)【解析】(1)从拟合的曲线可知,函数y=Asinωt+B的一个周期为12小时,因此

所以A=(ymax-ymin)=3,B=(ymax+ymin)=10.所以函数的解析式为y=3sint+10(0≤t≤24).(2)由题意,水深y≥4.5+7,即y=3sint+10≥11.5,t∈[0,24],所以sin

所以t∈[1,5]或t∈[13,17],所以,该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港.若欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.【补偿训练】如图为2019年某市某天中6h至14h的温度变化曲线,其近似满足函数y=Asin的半个周期的图象,则该天8h的温度大约为 ()A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃【解析】选D.由题意得A=

因为2×=16,所以=16,所以ω=,所以y=10sin,将x=6,y=10代入,得10sin即sin=-1,由于<φ<π,可得φ=,所以y=10sin当x=8时,y=10sin≈13,即该天8h的温度大约为13℃.【课堂小结】课堂素养达标1.(2020·福州高一检测)已知以原点O为圆心的单位圆上有一质点P,它从初始位置P0y关于时间t的函数关系式为 ()A.y=sin(t+),t≥0B.y=sin(t+),t≥0C.y=cos(t+),t≥0D.y=cos(t+),t≥0【解析】选A.当时间为t时,点P所在角的终边对应的角等于t+,所以点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为y=sin,t≥0.2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ()A.5 B.6 【解析】选C.由图象知:ymin=2,因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得:k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P,绕原点按逆时针方向做角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为 ()【解析】选A.由题意可得:yN=sin所以yM-yN=令sin解得:k=0,1,2,3.所以M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间=3×12+=37.5(分钟).4.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=1