2022-2023学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

2.多项式各项的公因式是()

A.B.C.D.

3.下列各式中，正确的是()

A.B.C.D.

4.在平行四边形中，，则()

A.B.C.D.

5.分式方程的根是()

A.B.C.D.

6.一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形是()

A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形

7.如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集()

A.

B.

C.

D.

8.把多项式因式分解成，则的值为()

A.B.C.D.

9.如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，连接若，，则()

A.

B.

C.

D.无法确定

10.如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：；；；其中符合要求的是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.若，则______填“”或“”或“”

12.分解因式：______．

13.若，且，则分式的值为______．

14.如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若，则四边形的周长是______．

15.已知等腰中，，是边上一点，连接，若和都是等腰三角形，则的度数是_______

16.如图，在中，，，将绕点旋转，当点的对应点落在边上时，点的对应点恰好与点，在同一直线上，则此时点到的距离是______．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

请你说明：当为自然数时，能被整除．

18.本小题分

解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．

19.本小题分

先化简，再求值：，其中为满足的整数．

20.本小题分

为营造读书好，好读书的氛围，某校决定从网店购买甲、乙两种图书以供学生课外阅读已知甲、乙两种图书的单价分别是元和元若该校准备购买甲、乙两种图书共本，且购买图书的总费用不超过元，那么甲种图书最多能买多少本？

21.本小题分

林涵同学设计了“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：如图，直线及直线外一点．

求作：直线的垂线，使它经过点．

作法：如图

任取一点，使点与点在直线的两侧；

以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于，两点；

连接和；

作的角平分线，交直线于点；

作直线．

直线就是所求的直线．

根据林涵设计的尺规作图过程，解答下列问题：

使用直尺和圆规，补全图保留作图痕迹；

写出证明过程．

22.本小题分

甲、乙两地相距千米，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍请根据题目的相关信息，提出一个可以用分式方程求解的问题，并进行解答．

23.本小题分

在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点若边长为的正方形四点按顺时针排列在该坐标平面内运动，并且边所在的直线始终与轴平行，直线始终与边交于点且同时与边交于点运动时，点不与，两点重合，点不与，两点重合设点的坐标为．

如图，边在轴正半轴上，且时，求点的坐标；

如图，连接，当时，请直接写出点和点的坐标；

在的基础上，当正方形左右平移时，请直接写出的取值范围．

24.本小题分

中，，以为边作四边形四点按顺时针排列，，，，对角线，交于点，连接交于点．

如图，当时：

求证：四边形是矩形；

求证：，；

当，时，延长到点，使，连接．

若是以为直角边的直角三角形，请直接写出的长；

若，请直接写出的长．

25.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点．

求直线的函数表达式；

点是直线上的一个动点．

当点在线段上，若的面积等于面积时，求点的坐标；

点是直线上一个动点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：图形不是中心对称图形，不符合题意；

B.图形不是中心对称图形，不符合题意；

C.图形不是中心对称图形，不符合题意；

D.图形是中心对称图形，符合题意．

故选：．

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

2.【答案】

【解析】解：，

各项的公因式是，

故选：．

根据公因式的定义进行解答即可．

本题考查公因式，理解公因式的定义，掌握公因式的计算方法是正确解答的前提．

3.【答案】

【解析】解：，故选项A错误，

当时，，故选项B错误，

，故选项C正确，

不能化简，故选项D错误，

故选：．

根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．

本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是可以对各个选项中的式子进行化简．

4.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，

又，

，

又，

，

．

故选：．

根据平行四边形的性质，对角相等，可以求出；又因为平行四边形的邻角互补，可以得出，即可求出的度数．

本题主要考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的相关性质是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：

去分母得：，

去括号得：，

移项得：，

合并同类项得：，

系数化为得：，

经检验，是原方程的解，

原方程的解为，

故选：．

按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程，然后检验即可得到答案．

本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤，注意解分式方程最后一定要检验是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：设多边形的边数是，根据题意得，

，

解得：，

这个多边形为六边形．

故选：．

根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．

本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：点代入，

，

，

结合图象可知关于的不等式的解集为；

故选：．

将点代入，求出点的坐标，结合函数图象即可求得关于的不等式的解集．

本题考查一次函数的交点于一元一次不等式；将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：多项式可因式分解成，

，

，，

解得，．

故选：．

根据题意可知，根据等式列出关于和的方程即可解答．

本题考查了因式分解，解题的关键是掌握掌握因式分解与整式乘法的关系．

9.【答案】

【解析】解：由旋转的性质得：，，

为等边三角形，

．

故选：．

由旋转的性质得，，据此得为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出的长．

此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰边三角形的判定及性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，找准旋转角，理解有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等，三个角都等于．

10.【答案】

【解析】解：设对角线和交于点，

四边形为菱形，

，，，，

对角线相等的菱形是正方形；

补充条件，可以使四边形成为为正方形，

菱形的对角线具有，

补充条件，不能使四边形成为为正方形，

，

，

菱形为正方形，

补充条件，可以使四边形成为为正方形，

当时，，

又，

，

为等边三角形，

，

补充条件，不能使四边形成为为正方形．

综上所述：当补充的条件时，可以使四边形成为为正方形．

故选：．

根据对角线相等的菱形是正方形可对条件进行判断；根据菱形的对角线互相垂直可对条件进行判断；根据勾股定理的逆定理可对条件进行判断；由条件可得出为等边三角形，则，据此可对条件进行判断．

此题主要考查了正方形与菱形之间的关系，解答此题的关键是理解：对角线相等的菱形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形．

11.【答案】

【解析】解：，

．

故答案为：．

根据不等式的性质得出答案即可．

本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

12.【答案】

【解析】解：．

考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．

本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的倍，如果没有两数乘积的倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．

13.【答案】

【解析】

【分析】

此题主要考查了分式的值，正确将已知代入是解题关键．直接利用已知代入分式化简得出答案．

【解答】

解：，且，

，

则分式．

故答案为：．

14.【答案】

【解析】解：，，，分别是，，，上的中点，，

，，，

四边形为平行四边形，

四边形的周长为．

故答案为：．

利用三角形中位线定理，即可解决问题．

本题考查了三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

15.【答案】或

【解析】解：应分两种情况：

，，那么和是全等三角形，可求得，那么；

，，那么，，然后用表示出的内角和，即可求得，那么．

故填或．

和都是等腰三角形，但没有说具体的边相等，所以应分情况讨论．

，，那么和是全等三角形，可求得，那么；

，，那么，，然后用表示出的内角和，即可求得，那么．

本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质；本题的易错点在于判断此题应分情况讨论，难点在于画出图形，得到各种情况里所求的角的关系．

16.【答案】

【解析】解：四边形为平行四边形，，，

，，，

，

四边形是平行四边形绕点旋转而得到的，且点在上，点在直线上，

四边形为平行四边形，且，，，

，，，

，

，

，

过点作于，则，

在中，，，

由勾股定理得：．

，

点到的距离为．

故答案为：．

首先根据题意画出图形，由旋转的性质得四边形为平行四边形，且，，然后证，再过点作于，则，最后在中由勾股定理求出即可．

此题主要考查了图形的旋转变换及性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合三线合一．

17.【答案】解：原式

，

则当为自然数时，能被整除．

【解析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．

18.【答案】解：，

解不等式得：，

解不等式得：，

原不等式组的解集为：，

该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

19.【答案】解：

，

为满足的整数，

或或，

，，

，，

当时，原式．

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．

本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，

根据题意得：，

解得：，

又为正整数，

的最大值为．

答：甲种图书最多能买本．

【解析】设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可求出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

21.【答案】解：如图，

证明：，

等腰三角形，

平分，

．

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；

根据等腰三角形的“三线合一”进行证明．

本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．

22.【答案】解：求高铁列车的平均行驶速度是多少？

设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度为，

由题意得，

解得：，

经检验，是原分式方程的解，

则，

答：高铁列车的平均行驶速度为．

【解析】设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度为，由题意：乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，列出分式方程，解方程，即可求解．

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

23.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，

点，点，

，，

，

，

，

，，

，

当时，，

点；

，

，

，

，

，

点，

点的纵坐标为，

点；

当点在上时，点坐标为，

此时，

当点在上时，，

．

【解析】先求出点，点，可求点坐标，即可求解；

由题意可得，由中点坐标公式可求点，即可求解；

利用特殊位置可求解．

本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，直角三角形的性质，正方形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

24.【答案】证明：，，

四边形为平行四边形，

又，

，

平行四边形为矩形；

由可知：四边形为矩形，

，

在中，，，

为等边三角形，

，

在和中，

，

≌，

，

即：为等边的角平分线，

，；

解：．

理由如下：

由可知：四边形为矩形，

，

即为等腰三角形，

是以为直角边的直角三角形，

，

又点在的延长线上，

，

，，

，

，

等腰为等边三角形，

，，

，

点，，在同一条直线上，

，，

为线段的垂直平分线，

．

．

理由如下：

过点，，分别作的垂线，垂足分别为，，，

四边形为矩形，对角线，交于点，

，，

，，，

，

为梯形的中位线，

，，

在三角形中，，，，

，，

，

由勾股定理得：，

，

，

设，则，

，，

，

，，

，

，

在中，，，

，

由勾股定理得：，

在中，，，，

由勾股定理的：，

即：，

整理得：，

，不合题意，舍去，

．

【解析】由，可判定四边形为平行四边形，再根据可得出结论；

先根据矩形的性质得，进而判定为等边三角形，然后证和全等得，据此再根据等边三角形的性质可得出结论；

先证为等边三角形得，，进而可证点，，在同一条直线上，然后证为线段的垂直平分线得，据此可得出的长；

过点，，分别作的垂线，垂足分别为，，，先证为梯形的中位线，得，，再计算得，，，设，则，，，进而再求出，则，继而可得，，则最后在中由勾股定理列出关于的方程，解方程求出即可得出的长．

此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，解答的关键是熟练掌握矩形的判定，全等三角形的判定方法，理解等边三角形边上的中线、高、顶角的平分线重合；解答的关键是理解在直角三角形中，的角所对的边等于斜边的一半；灵活运用勾股定理进行计