卡方拟合优度检验-课件

第五章c

2拟合优度检验及其应用第一节c

2拟合优度检验二项分布（0－1数据） 考虑比例问题：P(X=1)=p，P(X=0)=1–p

假设检验：H0：p=p0；H1：pp0。

样本统计：1的频数为k，0的频数为n–k。检验统计量及其分布：等价的检验统计量及其分布也可以写成：总体分类A1(X=1)A2(X=0)合计理论频数E1=np0E2=n(1–p0)n观测频数O1=kO2=n–kn理论H0的检验统计量及其分布：例1：某机构认为公众对某项事业的看法无所谓，并通过调查来进行实证，却得到相反的证据，数据如下：总体分类赞成反对合计理论频数5050100观测频数4060100多项分布（属性数据）考虑多项分布问题：假设检验：数据结构：总体分类A1(X=1)……As

(X=s)合计理论频数E1=np10……Es=nps0n观测频数O1……Osn理论H0的检验统计量及其分布：在近似计算方面，尽可能要求所有观测频数Oi≥5，容许个别为3或4；否则，对某些类进行合并。例2：骰子的检验某人在赌场对掷骰子观测了120次，获得数据：朝上的面i123456合计理论值Ei202020202020120观测值Oi132816103221120Ei–Oi7–8410–12–10(Ei–Oi)24964161001441(Ei–Oi)2/Ei2.453.200.805.007.200.0518.70P值＝0.003因此，可以认为骰子不均匀或赌场有作弊行为。例3：判定样本的不随机性有一项调查据称是在某地区随机进行的。该地区各年龄段（或其它分组方式）的人口比例是已知的。样本量为1000，具体数据如下：数据分组1234567合计各组比例0.150.20.20.150.150.10.051理论值Ei150200200150150100501000观测值Oi13024017013018090601000Ei–Oi20–403020–3010–100(Ei–Oi)24001600900400900100100(Ei–Oi)2/Ei2.6784.52.6761226.83P值＝0.0002因此，可以认为该调查的随机性是有问题的。一般分布的检验（属性数据或连续数据）检验方法：对总体进行随机抽样，得样本X1,…,Xn；按某种方式所得到的总体分类A1,…,As对样本进行频数统计，得观测频数O1,…,Os；用极大似然法估计参数q1,…,qr；得估计值计算观测频数O1,…,Os的理论值E1,…,Es，即在H0下等于：理论H0的检验统计量及其分布：例4：120名成年男子红细胞数的正态性检验 组段理论频数E观察频数OE－O(E－O)2(E－O)2/E3.20~1.872-0.130.0170.0093.50~4.495-0.510.260.0563.80~10.5100.50.250.0244.10~18.519-0.50.250.0144.40~24.6231.62.560.1044.70~24.6240.60.360.0155.00~18.521-2.56.250.3385.30~10.511-0.50.250.0245.60~4.4940.490.240.0535.90~6.201.8710.870.760.405合计1201200.01.042P值为0.99，故不拒绝正态性假设。120名成年男子红细胞数的直方图例5：30年代卢瑟福观测了在7.5秒时间内X射线到达指定区域的质点数，共观测2608次，获得统计数据：出现点数i0123456789≥10合计理论值Ei572033835255324082731394527162608观测值Oi542114075265083932541406829172608Ei–Oi3–8–24–1241519–1–23–3–10(Ei–Oi)2/Ei0.1240.2671.460.001.100.5341.450.0127.720.1660.0712.91这里，普阿松分布：l的估计值：理论值Ei：，P值为0.1667。第二节齐一性检验两个总体分布的齐一性检验 比较两个总体的分布函数F1(X)和F2(X)是否一致？

假设检验：H0：F1(X)＝F2(X)

；H1：F1(X)≠F2(X)

。对这两个总体进行独立抽样，分别获得F1(X)和F2(X)的独立样本这两个总体变量的值域应该一致。我们把该值域分成s段A1,…,As（分类方法要求与样本独立），比较F1(X)和F2(X)在A1,…,As上的分布或比例是否一致。对这两个独立样本出现的频数分别进行统计，记作数据结构：总体分类A1……As

合计X频数n11……n1sn1Y频数n21……n2sn2合计n*1……n*sn这里当s

=

2

时，上面的数据结构就是四格表。

故且H0：F1(X)＝F2(X)成立时，意味着是来自同一个总体，且所以N1j和N2j的估计值为由此得到检验统计量：当s

=

2

时，就得到四格表的检验统计量：例6：比较两种花卉的栽培方法，两种方法各自独立地种植100颗，到花卉成熟时对它们的品质进行评定，得到统计数据如下：花卉等级1级2级3级4级5级合计方法1频数204025105100方法2频数303520510100合计5075451515200H0:两种栽培方法无差异；H1:两种栽培方法有差异。应用c2齐一性检验方法，各观测值的理论值写在表中右下的红字，由此就容易计算出c2值：2537.522.57.57.52537.522.57.57.5，P值0.49第三节列联表检验总体分类A1……As

合计X1

频数n11……n1sn1·…………………………Xr频数nr1……nrsnr·合计n·1……n·sn

r个总体分布的齐一性检验 比较r个总体的分布函数F1(X),…,Fr(X)是否一致？ 假设检验：H0：Fi(X)＝F(X)

，i=1,…,r数据结构：这里检验统计量：例7：有三种空调产品A、B、C，商场对它们的顾客满意度情况进行调查，得到如下统计数据：很满意满意一般不满意很不满意合计A712105135B102073040C515155040合计224732131115很满意满意一般不满意很不满意合计A71210635B10207340C51515540合计224732141156.714.39.74.37.716.311.14.97.716.311.14.9，P值0.30。两个变量X与Y的独立性检验数据：对(X,Y)进行联合随机抽样，得到二维样本数据分类：把

X

变量的取值分为r类，把

Y

变量的取值分为s类。于是，(X,Y)的取值就分为rs类。然后，对二维样本在这rs类中的频数进行统计，得：数据结构：二维样本的频数分布总体分类B1……Bs

合计A1n11……n1sn1·…………………………Arnr1……nrsnr·合计n·1……n·sn检验方法：等价于r个总体分布的齐一性检验。统计解释： 对于检验统计量在r个总体分布的齐一性检验中，nij表示第i个样本的第j次观测值；其理论值及其估计值分别为在两个变量X和Y的独立性检验中，nij表示二维样本的第(i,j)个观测值；其理论值及其估计值分别为和例8：在一次学生英语成绩的调查中，通过对文科、理科和工科的成绩分组，得到如下统计人数：优良及格不及格合计文科5035105100理科65115155200工科1501003020300合计265250553060044.241.79.2588.383.318.310132.512527.515因此，可以认为学生英语成绩与学生文理工的科别不独立，即文科、理科和工科学生英语成绩的分布是不一致的。，P值0.00001。例9：血型与疾病关系的研究(方积乾，p117)因此认为不同组别的血型分布有显著差异，或认为组别与血型之间是不独立或相关的。那么，组别与血型之间的关系怎样呢？，P值0.0000003。不同疾病病人的血型分布疾病分类血型分布合计ABO胃溃疡组6791349831796胃癌组41684383883对照组262557028926087合计372078842588766疾病分类ABC合计胃溃疡组37.8%7.5%54.7%100%胃癌组47.1%9.5%43.4%100%对照组43.1%9.4%47.5%100%每种组别的血型分布比例疾病分类ABC胃溃疡组18.3%17.0%23.1%胃癌组11.2%10.7%9.0%对照组70.6%72.3%67.9%合计100%100%100%每种血型的组别分布比例直观上，对照组与胃癌组差异不显著，胃溃疡组与这两组的差异显著。直观上，血型A与B的差异不显著，血型C与这两组的差异显著。按比例进行直观比较疾病分类血型分类ABC合计胃溃疡组胃癌组109521813662679对照组262557028926087合计372078842588766每种组别的血型分布比例做两个总体分布比较的齐一性检验：做病患(胃溃疡+胃癌)与对照组的比较，P值＝0.0065。因此，可以认为病患(胃溃疡+胃癌)与对照组有显著差异。疾病分类血型分类ABC合计胃癌组41684383883对照组262557028926087合计304165432756970每种组别的血型分布比例做两个总体分布比较的齐一性检验：做胃癌组与对照组的比较，P值＝0.06。因此，可以认为胃癌组与对照组的差异不太显著。疾病分类血型分类ABC合计胃溃疡组6791349831796非胃溃疡组304165432756970合计372078842588766每种组别的血型分布比例做两个总体分布比较的齐一性检验：做胃溃疡组与非胃溃疡的比较，P值＝0.00000003。因此认为胃溃疡组与非胃溃疡组有显著差异。疾病分类血型分类AB合计胃溃疡组679134813