高考数学-三角函数专题复习

高考数学-三角函数专题复习

三角函数专题【考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0。又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0。3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6。将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12。代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72。4、已知sin(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10。5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1。又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1。6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0。由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15。7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。解：将tan(π/4+x)和tan(π/4-x)化为sinx和cosx的形式，可得：(1+2sinx)/(1-2sinx)=(1-2cosx)/(1+2cosx)解得sinx=1/3，cosx=2/3，代入cos2x=2cos^2x-1的公式，可得cos2x=1/9。考点2.最值1、求函数f(x)=sinxcosx的最小值。解：f(x)=sinxcosx=1/2sin2x的值域为[-1/2,1/2]，最小值为-1/2。2、求函数f(x)=sinx-cosx的最大值。解：f(x)=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)的值域为[-√2,√2]，最大值为√2。3、已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[π/4,3π/4]上的最小值是-2，求ω的最小值。解：由于2sinωx的最小值为-2，所以sinωx的最小值为-1。由于sinωx在[π/4,3π/4]上单调递增，所以sin(3π/4ω)=-1，解得ω的最小值为4/3。4、设x∈[π/4,π/2]，求函数y=sin2x+1的最小值。解：y=sin2x+1=2sinxcosx+1=2sinx(1-sin^2x)+1=2(1-t^2)t+1，其中t=sinx∈[1/√2,1]。对t进行求导，可得dy/dt=-4t^3+2t，令dy/dt=0，解得t=1/√2，即sinx=1/√2，最小值为3/2。5、将函数y=sinx-3cosx的图像向右平移n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值为？解：将y=sinx-3cosx的图像向右平移n个单位，所得图像为y=sin(x-nπ/2)-3cos(x-nπ/2)，关于y轴对称即sin(x-nπ/2)=0，解得n=1/2。考点3.单调性1、设函数f(x)=sin(π/3+x)，则f(x)在区间[0,π/2]上是增函数。解：f'(x)=cos(π/3+x)>0，所以f(x)在[0,π/2]上是增函数。2、已知函数f(x)为偶函数，且在区间[0,π/2]上是减函数，则f(x)在区间[-π/2,0]上是增函数。解：由于f(x)为偶函数，所以f'(x)为奇函数，而在区间[0,π/2]上f'(x)<0，所以在区间[-π/2,0]上f'(x)>0，即f(x)在区间[-π/2,0]上是增函数。1.下列函数中，周期为最小正周期为的奇函数。解析：根据正弦函数的性质可知，正弦函数的最小正周期为，因此选项A正确。2.函数的是()解析：函数的周期为，因此选项D正确。3.函数等于（）解析：根据奇偶性的性质可知，函数为奇函数，因此选项C正确。4.下列函数中，图象关于直线对称的是（）解析：将函数图像绘制出来，可以发现其关于直线对称，因此选项B正确。5.已知函数的图象与直线的相邻两个公共点之间的距离为，因此选项A正确。6.把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是。解析：将函数图像向左平移个单位长度，得到函数图像为，将横坐标缩短到倍，得到函数图像为，因此选项C正确。7.将函数的图象向左平移，得到函数的图象，因此选项C正确。8.为了得到函数的图象，可以将函数的图象向平移个单位长度，因此选项B正确。9.函数的最小正周期为，因此函数的一个周期为，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像为，因此可得到函数的图像关于y轴对称时的平移量为，因此选项C正确。1.此题为数学公式，无法确定格式错误和有问题的段落，需要给出完整的文章才能进行修改。2.在同一平面直角坐标系中，函数$y=\cos(\frac{1}{3}\pi+x\pi)(x\in[0,2\pi])$的图象和直线$y=0$的交点个数是（A）1（B）2（C）3（D）4。3.已知函数$f(x)=2\sin(\omegax+\varphi)$的图像如图所示，则$\frac{7\pi}{12}$处的函数值为$\frac{1}{2}$。4.下图是函数$y=Asin(\omegax+\varphi)(x\inR)$在区间$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]$上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将$y=\sinx(x\inR)$的图象上所有的点向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变。5.如果函数$y=\sin2x+a\cos2x$的图象关于直线$x=-\frac{\pi}{2}$对称，则实数$a$的值为$-2$。6.若方程$3\sinx+\cosx=a$在$[0,2\pi]$上有两个不同的实数解$x_1,x_2$，求$a$的取值范围，并求$x_1+x_2$的值。答案为$-2\leqa\leq2$，$x_1+x_2=\pi$。7.已知函数$f(x)=A\sin(x+\varphi)(A>0,0<\varphi<\pi)$，$x\inR$的最大值是$1$，其图象经过点$M(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$。(1)求$f(x)$的解析式；$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6})$。(2)已知$\alpha,\beta\in(\frac{\pi}{5},\frac{13\pi}{32})$，且$f(\alpha)=\frac{3}{12},f(\beta)=\frac{5}{13}$，求$f(\alpha-\beta)$的值。$f(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$。8.已知函数$f(x)=\sin^2x\sin\varphi$。(1)求$\varphi$的值；$\varphi=\frac{\pi}{3}$。(2)将函数$y=f(x)$的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数$y=g(x)$的图象，求函数$g(x)$在$[-\frac{\pi}{2}+\varphi,\frac{\pi}{2}+\varphi]$上的最大值和最小值。$g(x)=\frac{1}{4}\sin^2(2x+\pi)$，最大值为$\frac{1}{4}$，最小值为$0$。1、(I)根据三角函数公式，$acosB-bcosA=\frac{a}{2}(sin2B-sin2A)=\frac{a}{2}sin(B-A)sin(B+A)$，因为$B+A<180^{\circ}$，所以$sin(B+A)>0$，所以$sin(B-A)>0$，即$B>A$。所以$tanAcotB=\frac{tanA}{cotB}=\frac{sinA/cosA}{cosB/sinB}=\frac{sin^2A}{cosAcosB}=\frac{sin^2A}{\frac{1}{2}(cos(A-B)+cos(A+B))}=\frac{2sin^2A}{cos(A-B)+cosC}$。因为$cos(A-B)=-cos(180^{\circ}-B+A)=-cos(C-A)>0$，所以$tanAcotB$的最小值是$\frac{2sin^2A}{2cos\frac{C-A}{2}}=2sin^2A$，当且仅当$A=90^{\circ}$时取到最小值。(II)$tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}=\frac{\frac{sinA}{cosA}-\frac{sinB}{cosB}}{1+\frac{sinAsinB}{cosAcosB}}=\frac{sinAcosB-sinBcosA}{cosAcosB+sinAsinB}=\frac{sin(A-B)}{cosAcosB+sinAsinB}$。因为$cosAcosB+sinAsinB\leqcos^2A+sin^2A=1$，所以$tan(A-B)$的最大值是$sin(A-B)$，当且仅当$cosAcosB+sinAsinB=1$时取到最大值，即$A=B$。2、根据余弦定理，$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{23^2+5^2-\frac{23^2}{9}}{2\times23\times5}=\frac{193}{345}$，所以$sinC=\sqrt{1-cos^2C}=\frac{24\sqrt{17}}{345}$。又因为$tanA+\frac{sinC}{cosA}=4$，所以$tanA=\frac{4cosA-sinC}{cosA}=\frac{4cosA-\frac{24\sqrt{17}}{345}}{cosA}$，即$tanA-\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{\frac{4}{\sqrt{17}}cosA-\frac{24\sqrt{17}}{345}}{cosA}$。因为$-\frac{4}{\sqrt{17}}\leq\frac{\frac{4}{\sqrt{17}}cosA-\frac{24\sqrt{17}}{345}}{cosA}\leq\frac{4}{\sqrt{17}}$，所以$tanA\in[\frac{4}{\sqrt{17}}-\frac{4}{\sqrt{17}}cosA+\frac{24\sqrt{17}}{345},\frac{4}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}}cosA-\frac{24\sqrt{17}}{345}]$。因为$-\frac{4}{\sqrt{17}}\leqcosA\leq\frac{4}{\sqrt{17}}$，所以$tanA\in[\frac{4\sqrt{17}-24\sqrt{17}/345}{1+4/\sqrt{17}},\frac{4\sqrt{17}+24\sqrt{17}/345}{1-4/\sqrt{17}}]$。化简可得$tanA\in[\frac{60\sqrt{17}}{173},\frac{60\sqrt{17}}{101}]$。又因为$222sinBcosC=sinA$，所以$sinBcosC\leq\frac{1}{2}$，即$sinBcosC=\frac{1}{2}$，所以$sinB=\frac{1}{2cosC}=\frac{2\times345}{193}=\frac{690}{193}$，$cosB=\sqrt{1-sin^2B}=\frac{23}{193}$，$b=2csinB=\frac{1380\sqrt{17}}{193}$，$A=180^{\circ}-B-C$，所以$sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=\frac{1}{2}sinB+\sqrt{1-sin^2B}\timescosC=\frac{1}{2}sinB+\sqrt{1-sin^2B}\times\frac{193}{345}=\frac{1}{2}\times\frac{690}{193}+\sqrt{1-(\frac{690}{193})^2}\times\frac{193}{345}=\frac{24\sqrt{17}}{193}$，所以$A=\arcsin\frac{24\sqrt{17}}{193}$。3、(I)$m\cdotn=sinA+3cosA=\sqrt{10}sin(A+\arctan\frac{1}{3})=1$，所以$sin(A+\arctan\frac{1}{3})=\frac{1}{\sqrt{10}}$，即$cos\arctan\frac{1}{3}sinA+sin\arctan\frac{1}{3}cosA=\frac{1}{\sqrt{10}}$，所以$\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}sin(A-\arctan\frac{1}{3})$，即$sin(A-\arctan\frac{1}{3})=\frac{3}{\sqrt{10}}$。所以$cosAcos\arctan\frac{1}{3}-sinAsin\arctan\frac{1}{3}=\frac{3}{\sqrt{10}}$，即$\frac{3}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}cosA-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}sinA=\frac{3}{\sqrt{10}}$，所以$3cosA-sinA=\frac{3\sqrt{10}}{2}$，即$cos(A+\arctan\frac{1}{3})=\frac{3\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{2}$，所以$A+\arctan\frac{1}{3}=\pm\arccos\frac{3}{2}$，即$A=\arccos\frac{3}{2}-\arctan\frac{1}{3}$。(II)$f'(x)=2cosx(1+cosx)-sin^2x=cosx(2+3cosx)$，所以$f'(x)>0$的充要条件是$cosx>\frac{-2}{3}$，即$x\in(\arccos\frac{-2}{3},2\pi-\arccos\frac{-2}{3})$，$f'(x)<0$的充要条件是$x\in(0,\arccos\frac{-2}{3})\cup(2\pi-\arccos\frac{-2}{3},2\pi)$。所以$f(x)$在$(0,\arccos\frac{-2}{3})\cup(2\pi-\arccos\frac{-2}{3},2\pi)$上单调递减，在$(\arccos\frac{-2}{3},2\pi-\arccos\frac{-2}{3})$上单调递增。最大值为$f(\arccos\frac{-2}{3})=\frac{7}{3}$，取到最大值的自变量为$x=\arccos\frac{-2}{3}$。4、将$f(x)=cos2x+4cosAsinx$化为$f(x)=2cos(A-x)cos(A+x)+2cosAsin(A-x)$，所以$f(x)=2cos(A-x)(cos(A+x)-sinx)+2cosA(sinx+cos(A-x))=2cos(A-x)cos(A+x-2x)+2cosA\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}-x+\frac{A}{2})$。因为$f(x)$是偶函数，所以只需要考虑$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$的情况。当$x\in[0,A-\frac{\pi}{4}]$时，$cos(A+x-2x)>0$，$cos(\frac{\pi}{4}-x+\frac{A}{2})>0$，所以$f(x)>0$；当$x\in[A-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$时，$cos(A+x-2x)<0$，$cos(\frac{\pi}{4}-x+\frac{A}{2})>0$，所以$f(x)<0$；当$x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$时，$cos(A+x-2x)<0$，$cos(\frac{\pi}{4}-x+\frac{A}{2})<0$，所以$f(x)>0$。所以$f(x)$的值域为$[0,2cosA+2\sqrt{2}cosA]=[0,2cosA(1+\sqrt{2})]$。5、因为$f(x)$是偶函数，所以$f(0)=f(\pi)$。又因为$f(x)$是周期函数，所以$f(\frac{\pi}{2})=f(-\frac{\pi}{2})$。所以$2sin\frac{\pi}{4}cos\frac{\pi}{4}+2sin\frac{\pi}{4}cos(\frac{\pi}{4}+\phi)+2cos\frac{\pi}{4}cos(\frac{\pi}{4}-\phi)=2sin\frac{\pi}{4}cos\frac{\pi}{4}+2sin\frac{\pi}{4}cos(\frac{\pi}{4}-\phi)+2cos\frac{\pi}{4}cos(\frac{\pi}{4}+\phi)$，即$sin\phi=cos\phi$，所以$\phi=\frac{\pi}{4}$或$\phi=\frac{5\pi}{4}$。所以$f(x)$的最大值为$2+\sqrt{2}$，最小值为$-2-\sqrt{2}$。6、$f(x)$的最小正周期为$\frac{\pi}{\omega}$，因为$f(x+\frac{\pi}{\omega})=f(x)$，所以$2sin(\frac{\pi}{\omega})cos(\omegax+\phi)+sin(\frac{2\pi}{\omega})=0$，所以$cos(\omegax+\phi)=-\frac{sin(\frac{\pi}{\omega})}{2sin(\frac{2\pi}{\omega})}$。因为$A$为锐角，所以$sinA>0$，所以$m\cdotn=sinA+3cosA>0$，所以$cosA>-\frac{1}{3}$，所以$A\in(\arccos\frac{-1}{3},\frac{\pi}{2})$。所以$\omegax+\phi\in[\frac{\pi}{2}-A,A-\frac{\pi}{2}]$，所以$\frac{\pi}{\omega}\in[\frac{\pi}{2}-A,A-\frac{\pi}{2}]$，即$A\in[\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{\omega},\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{\omega}]$。因为$f(x)$是奇函数，所以$f(0)=0$，所以$sin\phi=0$，即$\phi=k\pi$，所以$m\cdotn=sinA+3cosA=2sinAcos\phi=0$，矛盾。所以$f(x)$不可能既是偶函数又是周期函数。4、已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$（Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图像的对称轴方程。解：由于$\cos(2x-\frac{\pi}{3})$的最小正周期为$\frac{\pi}{2}$，$\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{2}-2x)-\cos(\frac{\pi}{2}))$的最小正周期为$\frac{\pi}{2}$，故$f(x)$的最小正周期为$\frac{\pi}{2}$。对于对称轴方程，我们可以先求出$f(x)$的零点，即：$\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})=0$化简得：$\cos(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{1}{2}=0$或$\sin(x-\frac{\pi}{4})=0$解得：$x=\frac{\pi}{12}+k\cdot\frac{\pi}{2}$或$x=k\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$，其中$k\in\mathbb{Z}$因此，对称轴方程为$x=\frac{\pi}{12}+k\cdot\frac{\pi}{2}$或$x=k\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$。（Ⅱ）求函数$f(x)$在区间$[-\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$上的最小值。解：由于$f(x)$的最小正周期为$\frac{\pi}{2}$，所以我们只需要在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上求最小值即可。$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\cos(\frac{\pi}{2}-2x)$$f'(x)=-2\sin(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(2x-\frac{\pi}{2})=2\cos(2x-\frac{5\pi}{6})-2\cos(2x-\frac{\pi}{2})$令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{\pi}{12}$或$x=\frac{5\pi}{12}$。又$f''(\frac{\pi}{12})=-2\sin(\frac{\pi}{6})<0$，$f''(\frac{5\pi}{12})=-2\sin(\frac{\pi}{6})<0$，所以$x=\frac{\pi}{12}$和$x=\frac{5\pi}{12}$是$f(x)$的极大值点。因此，$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最小值为$f(\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{6})+\cos(-\frac{\pi}{3})=-\frac{3}{2}$。5、已知函数$f(x)=3\sin(\omegax+\varphi)-\cos(\omegax+\varphi)(\frac{\pi}{2}<\varphi<\pi,\omega>0)$为偶函数，且函数$y=f(x)$图像的两相邻对称轴间的距离为$\frac{\pi}{2}$。（Ⅰ）求$f(\frac{\pi}{2})$的值。解：由于$f(x)$为偶函数，所以$f(x)$的图像关于$y$轴对称。又因为函数$y=f(x)$图像的两相邻对称轴间的距离为$\frac{\pi}{2}$，所以