电磁场理论 第一章

第1页，课件共82页，创作于2023年2月电磁场理论是研究静止和运动电荷效应的学科特点：不是从已知的公理或严格的数学定理出发，而是在由长期实践中得到的实验定律的基础上，经过理论概括而形成的一门科学。电磁场理论的核心内容是麦克斯韦方程组

（MaxwellEquations）概述第2页，课件共82页，创作于2023年2月一、课程目的掌握宏观电磁现象的基本定律和基本性质深入了解电磁场与电磁波的相关概念学会运用场的观点分析计算典型的电磁场问题为专业课程的学习打下坚实基础第3页，课件共82页，创作于2023年2月微波技术天线技术电波传播雷达工程电磁兼容光纤通信与电磁场理论有关的学科第4页，课件共82页，创作于2023年2月空警2000预警机第5页，课件共82页，创作于2023年2月微波技术天线技术电波传播雷达工程电磁兼容光纤通信与电磁场理论有关的学科第6页，课件共82页，创作于2023年2月隐身飞机第7页，课件共82页，创作于2023年2月微波技术天线技术电波传播雷达工程电磁兼容光纤通信与电磁场理论有关的学科第8页，课件共82页，创作于2023年2月二、课程内容1、矢量分析与场论2、静态场（静电场、恒定电流的电场、恒定电流的磁场、静态场问题的解法。）3、电磁波（均匀平面波的传播、反射与折射、电磁波的辐射、导行电磁波。）第9页，课件共82页，创作于2023年2月三、几点要求1、听（上课认真听）2、记（记笔记）3、读（精读教材）4、做（独立完成作业）电磁场理论内容广泛，概念多而且比较抽象，对数学基础的要求较高。第10页，课件共82页，创作于2023年2月参考书：谢处方等《电磁场与电磁波》高等教育出版社吴万春《电磁场理论》电子工业出版社毕德显《电磁场理论》电子工业出版社教材和参考书教材：王增和等《电磁场与波》机械工业出版社第11页，课件共82页，创作于2023年2月第一章矢量分析

本章内容：坐标系的构成、坐标变换坐标单位矢量的概念和不同坐标系坐标单位矢量之间的关系矢量函数和场的概念梯度、散度、旋度的定义与计算矢量恒等式亥姆霍兹定理的概念和意义第12页，课件共82页，创作于2023年2月在物理学中所遇到的物理量，一般分为两类：

1、标量（数量）：只有大小，在取定其单位后可以用一个数来表示。2、矢量（向量）：不仅有大小之分，而且有方向之别。标量与矢量第13页，课件共82页，创作于2023年2月如果在空间中一个区域内的每一个点都有一物理量的确定值与它对应，则在这个区域中就构成该物理量的场。教室中的温度场、空气密度场等根据构成场的物理量不同，将场分为两大类：标量场和矢量场。场的概念与函数的概念是一致的，标量场与标量函数、矢量场与矢量函数在一般情况下是通用的。场的概念第14页，课件共82页，创作于2023年2月1.1

常用坐标系

电磁场理论中用得最多的有三种坐标系：直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系

正交曲线坐标系

第15页，课件共82页，创作于2023年2月两个曲面相交形成一条交线，三个曲面相交可以得到一个交点。因此，空间一点的坐标可以用三个参数表示，每个参数确定一个坐标曲面。如果在空间任一点上，三个相交的坐标曲面相互正交（即各曲面在交点上的法线相互垂直），则坐标曲面的三条交线在该点也相互正交（即各交线在该点的切线相互垂直）。这样构成的坐标系称为正交曲线坐标系，这些曲线称为坐标曲线或称为坐标轴。正交曲线坐标系第16页，课件共82页，创作于2023年2月一、三种常用坐标系的构成坐标系的构成要素：1、坐标变量（三个）2、坐标曲面（三个坐标变量各等于常数的曲面）3、坐标曲线（两两坐标曲面的交线，又称为坐标轴）4、坐标单位矢量：在空间任一点沿三条坐标曲线的切线方向所取的单位矢量（模为1，方向为坐标变量正的增加方向），而且三个坐标单位矢量满足右手螺旋法则。第17页，课件共82页，创作于2023年2月（一）直角坐标系第18页，课件共82页，创作于2023年2月（二）圆柱坐标系第19页，课件共82页，创作于2023年2月（三）球坐标系第20页，课件共82页，创作于2023年2月二、不同坐标系坐标变量之间的关系（2）圆柱坐标→直角坐标1、球坐标→圆柱坐标→直角坐标（1）球坐标→圆柱坐标（3）球坐标→直角坐标

2、直角坐标→圆柱坐标→球坐标（1）直角坐标→圆柱坐标（2）圆柱坐标→球坐标（3）直角坐标→球坐标第21页，课件共82页，创作于2023年2月三、不同坐标系坐标单位矢量之间的关系直角坐标系与圆柱坐标系坐标单位矢量的关系直角坐标系与球坐标系坐标单位矢量的关系圆柱坐标系与球坐标系坐标单位矢量的关系第22页，课件共82页，创作于2023年2月1.2矢量函数第23页，课件共82页，创作于2023年2月1、如果给定某矢量沿三个相互垂直的坐标单位矢量方向的三个分量，则该矢量即被确定。

直角坐标系中：圆柱坐标系中：球坐标系中：

一、矢量表示法第24页，课件共82页，创作于2023年2月在直角坐标系中，由于矢量在各坐标轴的分量即为矢量在该坐标轴的投影，所以，如果已知矢量的大小和与各坐标轴的夹角α、β、γ，则矢量被确定。

一、矢量表示法（续）

第25页，课件共82页，创作于2023年2月2、模等于1的矢量称为单位矢量表示与同方向的单位矢量

一、矢量表示法（续）

第26页，课件共82页，创作于2023年2月在直角坐标系中，以坐标原点0为起点，引向空间任一点M（x，y，z）的矢量。3、矢径单位矢径：空间任一点对应于一个矢径，反之，每一个矢径对应着空间一点，所以矢径又称为位置矢量。点M（x，y，z）可以表示为

一、矢量表示法（续）

第27页，课件共82页，创作于2023年2月4、距离矢量

空间任一矢量，起点为P（x’,y’,z’），终点为Q（x,y,z）。距离矢量称为从源点到场点的距离矢量。

模

一、矢量表示法（续）

第28页，课件共82页，创作于2023年2月5、空间任一长度元矢量（线元矢量）在直角坐标系中表示为：模

一、矢量表示法（续）

第29页，课件共82页，创作于2023年2月二、矢量函数（一）矢量函数的定义：对于自变量的每一个数值都有变动矢量的确定量（大小和方向都确定的一个矢量）和它对应，则变动矢量称为该自变量的矢量函数。静电场中，位于坐标原点的点电荷，在其周围空间产生的电场：例如：第30页，课件共82页，创作于2023年2月（二）矢量函数的导数矢量函数求导数的运算法则，与标量函数求导相类似。1、定义：对于矢量函数，常矢量的导数为0，变矢量的一阶导数仍然为矢量。二、矢量函数（续）

第31页，课件共82页，创作于2023年2月2、对于标量函数与矢量函数的乘积二、矢量函数（续）

第32页，课件共82页，创作于2023年2月3、对于多变量函数和求偏导数：4、对于矢量函数二、矢量函数（续）

第33页，课件共82页，创作于2023年2月5、在圆柱坐标系和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不是常矢量，在求导数时要特别注意，不能随意将坐标单位矢量提到微分符号之外（坐标单位矢量是坐标变量的函数）。6、由于各种坐标系中的坐标单位矢量均不随时间变化，矢量函数对时间t求偏导数时，可以将它们作为常矢量提到偏微分符号之外。例如，在球坐标系中：二、矢量函数（续）

第34页，课件共82页，创作于2023年2月（三）矢量函数的积分积分和微分互为逆运算。一般标量函数积分的运算法则对矢量函数同样适用。在圆柱坐标系和球坐标系中，对矢量函数求积分时，仍需注意：有些坐标单位矢量不是常矢量，不能随意将坐标单位矢量提到积分运算符号之外。在一般情况下，坐标单位矢量可能是积分变量的函数。二、矢量函数（续）

第35页，课件共82页，创作于2023年2月例题设，求积分：第36页，课件共82页，创作于2023年2月1.3标量函数的梯度gradient

第37页，课件共82页，创作于2023年2月对于一个标量函数，令：（C为任意常数）

称为该标量函数的等值面方程。

对于二维标量函数，则称为该标量函数的等值线方程。

一、标量场的等值面和等值线第38页，课件共82页，创作于2023年2月根据标量场的定义，空间每一点上只对应于一个场函数的确定值。因此，充满整个标量场所在空间的许许多多等值面或等值线互不相交。或者说，场中的一个点只能在一个等值面或等值线上。一、标量场的等值面和等值线（续）

第39页，课件共82页，创作于2023年2月二、方向导数

1、定义：函数在给定点M0上沿某一方向对距离的变化率。（函数在M0点沿方向的方向导数）

第40页，课件共82页，创作于2023年2月2、计算公式二、方向导数（续）

第41页，课件共82页，创作于2023年2月三、梯度gradient

（一）梯度的定义：给出三个表达式：方向导数：方向单位矢量：定义：第42页，课件共82页，创作于2023年2月在直角坐标系中：三、梯度（续）第43页，课件共82页，创作于2023年2月引入Hamilton算子：三、梯度（续）第44页，课件共82页，创作于2023年2月（二）梯度的性质

1、一个标量函数的梯度为一个矢量函数。2、函数u在给定点沿方向的方向导数等于u的梯度在方向上的投影。3、标量场中任一点的梯度的方向为过该点等值面的法线方向。

4、梯度的线积分与积分路径无关。三、梯度（续）第45页，课件共82页，创作于2023年2月（三）梯度的基本运算公式三、梯度（续）第46页，课件共82页，创作于2023年2月例1：求一个二维标量场的等值线方程和梯度。例2：求函数在点沿方向的方向导数。

例题第47页，课件共82页，创作于2023年2月1.4矢量函数的散度第48页，课件共82页，创作于2023年2月一、矢量场的矢量线（力线）1、定义：矢量场中的一些曲线，曲线上每一点的切线方向代表该点矢量场的方向，该点矢量场的强度由附近矢量线的密度来确定。2、矢量线方程：第49页，课件共82页，创作于2023年2月二、矢量场的通量1、定义：矢量在场中某一曲面S上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量。第50页，课件共82页，创作于2023年2月2、通量的特性：通量的正负与面积元法线矢量方向的选取有关。

通量可以定性地认为是穿过曲面S的矢量线总数（定性概念）。所以可以称为通量面密度矢量，它的模F等于在某点与垂直的单位面积上穿过的矢量线的数目。通过面积元的通量元一般规定：凹面指向凸面为的正方向。二、矢量场的通量（续）

第51页，课件共82页，创作于2023年2月对于闭合曲面，一般规定面积元的单位法线矢量由面内指向面外。通量可以迭加则通过S面的矢量场的通量为：如果一闭合曲面S上任一点的矢量场为如果曲面S为闭合曲面，则通过S的总通量为：二、矢量场的通量（续）

第52页，课件共82页，创作于2023年2月三、散度divergence

1、定义：设有矢量场，在场中任一点M作一包围该点的任意闭合面S，并使S所限定的体积以任意方式趋于0。如果极限存在，则称此极限为矢量场在M点的散度。第53页，课件共82页，创作于2023年2月散度的定义与坐标系的选取无关在任一点M上：若，则该点有发出通量线的正源；若，则该点有吸收通量线的负源；若，则该点无源。若在某一区域内的所有点上，矢量场的散度都等于0，则称该区域内的矢量场为无源场。三、散度divergence（续）第54页，课件共82页，创作于2023年2月2、散度在直角坐标系中的表示式对于一个矢量三、散度divergence（续）第55页，课件共82页，创作于2023年2月3、散度的基本公式三、散度divergence（续）第56页，课件共82页，创作于2023年2月四、高斯散度定理任何一个矢量穿出任意闭合曲面S的通量，总可以表示为的散度在该面所围体积的积分。第57页，课件共82页，创作于2023年2月位置矢量（矢径）是一个矢量场，计算穿过一个球心在坐标原点，半径为a的球面的的通量；计算。已知，以每边为单位长度的立方体为例验证高斯散度定理。此立方体位于直角坐标系的第一卦限内，其中一个顶点在坐标原点上。

例题第58页，课件共82页，创作于2023年2月1.5矢量函数的旋度第59页，课件共82页，创作于2023年2月环量的定义：矢量，沿某一闭合曲线（闭合路径）的线积分，称为该矢量沿此闭合曲线的环量。一、矢量的环量第60页，课件共82页，创作于2023年2月如果某一矢量场的环量不等于0，则场中必有产生这种场的旋涡源。如果在一个矢量场中沿任何闭合路径的环量恒等于0，则在这个场中不可能有旋涡源，这种类型的场称为保守场或无旋场。一、矢量的环量第61页，课件共82页，创作于2023年2月二、矢量的旋度1、旋度的定义：矢量旋度的定义式：第62页，课件共82页，创作于2023年2月2、旋度在直角坐标系中的表示式

对于

二、矢量的旋度（续）

第63页，课件共82页，创作于2023年2月3、旋度与散度的区别矢量场的旋度为矢量函数；矢量场的散度为标量函数。

旋度描述的是场分量沿着与它垂直方向上的变化规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。旋度表示场中各点的场与旋涡源的关系。如果在矢量场所存在的全部空间内，场的旋度处处为0，则这种场不可能有旋涡源，因而称它为无旋场或保守场；散度表示场中各点的场与通量源的关系。如果在矢量场所存在的全部空间内，场的散度处处为0，则这种场不可能有通量源，因而称它为管形场（无头无尾）或无源场。二、矢量的旋度（续）

第64页，课件共82页，创作于2023年2月4、旋度的基本运算公式二、矢量的旋度（续）

第65页，课件共82页，创作于2023年2月三、斯托克斯定理矢量的旋度在任意曲面S上的通量，等于沿该曲面周界的环量第66页，课件共82页，创作于2023年2月几种重要的场：保守场（无旋场，位场）

定义：，则称为无旋场。无源场（管形场）定义：，则称为无源场。调和场

定义：，，则称为调和场。

第67页，课件共82页，创作于2023年2月1、矢量场，求沿闭合曲线的环量，并验证斯托克斯定理。的参量方程是：，，为一条星形线。2、求位置矢量沿折线的环量。其中由、、组成。

例题第68页，课件共82页，创作于2023年2月1.6矢量恒等式第69页，课件共82页，创作于2023年2月一、哈密顿一阶微分算子及恒等式

在直角坐标系中，哈密顿算子的表示式为：矢性微分算子第70页，课件共82页，创作于2023年2月1.2.第71页，课件共82页，创作于2023年2月二、哈密顿二阶微分算子及恒等式1．证明：①标量函数梯度的旋度恒等于0；②如果一个矢量函数的旋度等于0，则这个矢量函数可以用一个标量函数的梯度来表示。

如果